Cправочные материалы по тригонометрии. Формулы. Определения и свойства.

Комплект предназначен для слабых и средних по уровню учащихся, для репетиторов по математике и школьных преподавателей. Он специально адаптирован мной для слабых и средних по уровню учеников. В материалах применяются, на мой взгляд, лучшие приемы уменьшения нагрузки на память и упрощения работы с большими объемами информации. Их содержание дает репетитору по математике возможность преподнести тригонометрию в удобной для работы и для запоминания форме. В помощь репетитору по математике, работающему со слабыми учащимися, я специально исключила из списка формул те, которые не входят в основную программу, а также сложные формулы и различные формулы-следствия.

Определение тригонометрических функций:
определения тригонометрических функций

Определение: синусом угла поворота на называется ордината точки, изображающей данный угол.
Определение: косинусом угла поворота называется абсцисса точки, изображающей данный угол.
Определение: тангенсом угла поворота называется отношение ординаты точки, изображающей угол, к ее абсциссе.
Определение: котангенсом угла поворота называется отношение абсциссы точки, изображающей данный угол к ее ординате.

Основные тригонометрические свойства:

$Sin^2x+Cos^2x=1$

(основное тригонометрическое тождество)

$tg x=\dfrac{sinx}{Cosx}$

$ctg x=\dfrac{Cosx}{Sinx}$

$tg x \cdot ctgx=1$

$1+ tg^2x=\dfrac{1}{Cos^2x}$

$1+ctg^2x=\dfrac{1}{Sin^2x}$

Четность и нечетность тригонометрических функций:

$Sin(-x)= - Sinx$ нечетная

$Cos(-x)=Cosx$ четная

$tg(-x)=-tgx$ нечетная

$ctg(-x)=-ctgx$ нечетная

примечание репетитора по математике:

функция называется нечетной, если противоположным значениям аргумента соответствуют противоположные значения функции.
Функция называется четной, если противоположным значениям аргумента соответствуют равные значения функции.

Знаки тригонометрических функций

Таблица значений тригонометрических функций Счелкните на таблице для ее увеличения.

Прочтите о том как репетитору по математике заучить с учеником таблицу значений.

Формулы приведения:

Чтобы написать правую часть формул приведения нужно:
1) найти четверть в которой лежит угол в скобках, считая X острым углом.
2) поставить знак данной функции в данной четверти.
3) сменить или сохранить функцию.
При $\dfrac {\pi}{2}$ или $\dfrac{3\pi}{2}$ функция меняется ( $Sinx \leftrightarrow Cosx$ , $tgx \leftrightarrow ctgx$ )
При $\pi$ или $2\pi$ функция не меняется.

Формулы сложения углов:

$Sin (\alpha + \beta)=Sin(\alpha)Cos(\beta)+Cos(\alpha)Sin(\beta)$

$Sin (\alpha - \beta)=Sin(\alpha)Cos(\beta)-Cos(\alpha)Sin(\beta)$

$Cos (\alpha + \beta)=Cos(\alpha)Cos(\beta)-Sin(\alpha)Sin(\beta)$

$Cos (\alpha - \beta)=Cos(\alpha)Cos(\beta)+Sin(\alpha)Sin(\beta)$

Формулы двойного угла:

$Sin2x=2SinxCosx$

$Cos2x=Cos^2x-Sin^2x=1-2Sin^2x=2Cos^2x-1$

$1+Cos2x=2Cos^2x , Cos^2x=\dfrac{1+Cos2x}{2}$

$1-Cosx2x=2Sin^2x , Sin^2x= \dfrac{1-Cos2x}{2}$

$tg2x=\dfrac{2tgx}{1-tg^2x}$

$ctg2x=\dfrac{ctg^2x-1}{2ctgx}$

Формулы сложения тригонометрических функций:

$Sin\alpha+Sin\beta=2Sin\left (\dfrac{\alpha+\beta}{2}\right)Cos\left(\dfrac{\alpha-\beta}{2}\right)$

$Sin\alpha-Sin\beta=2Sin\left (\dfrac{\alpha-\beta}{2}\right)Cos\left(\dfrac{\alpha+\beta}{2}\right)$

$Cos\alpha+Cos\beta=2Cos\left (\dfrac{\alpha+\beta}{2}\right)Cos\left(\dfrac{\alpha-\beta}{2}\right)$

$Cos\alpha-Cos\beta=-2Sin\left (\dfrac{\alpha-\beta}{2}\right)Sin\left(\dfrac{\alpha+\beta}{2}\right)$

Простейшие тригонометрические уравнения:

1) Уравнения вида $Sinx=a$

простейшее тригоном уравнение с синусом_

Уравнения вида $Sinx=a$ ,
$a \in [-1;1]$
Частные формулы:
$x_1=arcSin(a)+2\pi n$
$x_2=\pi - arcSin(a)+2\pi n$
где $n \in Z$
Общая формула:
$x=(-1)^n arcsin(a) + \pi n$ ,
где $n \in Z$
Удобные случаи

2) Уравнения вида $Cosx=a$

простейшее тригоном уравнение с косинусом

Уравнения вида $Cosx=a$ ,
$a \in [-1;1]$
Частные формулы:
$x_1=arccos(a)+2\pi n$
$x_2= - arccos(a)+2\pi n$
где $n \in Z$
Общая формула:
$x=\pm arccosa+2\pi n$ ,
где $n \in Z$
Удобные случаи

1) Уравнения вида $tgx=a$

простейшее тригонометрическое уравнение с тангенсом

Уравнения вида
$tgx=a$ ,
$a \in (- \infty; + \infty )$
Частные формулы:
$x_1=arctg(a)+2\pi n$
$x_2=arctg(a)+\pi+2\pi n$
где $n \in Z$
Общая формула:
$x=arctg(a) + \pi n$ ,
где $n \in Z$
Решение на круге.

1) Уравнения вида $ctgx=a$

простейшее тригонометрическое уравнение с котангенсом

Уравнения вида
$ctgx=a$ ,
$a \in (- \infty; + \infty )$
Частные формулы:
$x_1=arcctg(a)+2\pi n$
$x_2=arcctg(a)+\pi+2\pi n$
где $n \in Z$
Общая формула:
$x=arcctg(a) + \pi n$ ,
где $n \in Z$
Решение на круге.

Предлагаю репетиторам по математике использовать на своих занятиях материалы сайта в реальном времени. Часто во время занатия дети не выключают компьютер. Загрузите страничку с формулами и начинайте урок.

Вместо распечатывания формул на листочке дайте ученику ссылку на страницу или попросите сделать ее стартовой при входе в интернет. Это увеличит частоту появления формул перед глазами ученика и они быстрее запомнятся.

Как репетитору по математике составить и как учить с учеником таблицу значений тригонометрических функций

Запоминание таблицы значений тригонометрических функций — актуальная тема не только для старшеклассников, но и для самих учителей и репетиторов по математике, которые часто не могут правильно расставить акценты на особенностях таблицы и тем самым вносят дополнительные препятствия для ее использования. Чего только я не насмотрелся в тетрадях учеников за годы моей практики. Такое впечатление, что сами учителя и репетиторы не знают, как лучше действовать. Кто-то предлагает отдельные таблицы для прямых и отдельно для обратных тригонометрических функций. Кто-то предлагает тригонометр, записи с неудобным представлением самих значений функций и используют, например, вместо числа $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ выбивающегося из общего правила $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ . По моей статистике примерно $90\%$ детей не могут самостоятельно отследить закономерности математических формул и свойств, упрощающие запоминание. Школьные преподаватели не всегда обращают на них внимание и часто именно репетитор по математике открывает ребенку глаза на очевидное.

Что должен делать репетитор по математике?

Я запускаю на занятие некоего помощника – навигатора, позволяющего облегчить ученику запоминание важной для практического решения задач информации. Продумываются сопроводительные подсказки в теоретических шпаргалках, при которых:

максимально широкий охват сведений обеспечивается минимальным объемом записей.
информацию можно будет получать при помощи неких выявленных особенностей и закономерностей в поведении чисел

Как этот принцип применить к запоминанию таблицы значений?

1) Репетитору по математике следует провести своего рода экскурсию по таблице и рассказать о ее особенностях. Важно заметить, что для перевода углов из градусов в радианы, достаточно вспомнить о том, какой у этих радианов должен получиться знаменатель. $\dfrac{\pi}{6}$ это $30^\circ$ , а $\dfrac{\pi}{3}$ это $60^\circ$ .Если у ребенка хотя бы немножко работает ассоциативная память, то он будет помнить, что в «радианных знаменателях» располагаются только числа $3, 4$ и 6. Они же стоят в разряде десятков соответствующей им градусной меры. Только тройка соответствует шестерке, шестерка тройке, а четверка (промежуточная цифра) при переходе к $45^\circ$ сохраняется. Я говорю так — тройка меняется на шестерку, шестерку на тройку, а четверка замирает и остается первой цифрой градусной меры угла $45^\circ$ .

При переводе $150^\circ$ можно заметить, что данный угол 5 раз больше чем $30^\circ$ . Тогда, умножая радианы для $30^\circ$ на 5, получаем $\dfrac{5\pi}{6}$ .

Значения синусов и косинусов для основных углов $0^\circ, 90^\circ, 180^\circ, 360^\circ$ лучше всего по таблице не смотреть, а вспомнить определение для их функций через тригонометрический круг.

Модули значений функций углов больших $90^\circ$ cимметричны значениям для углов до $90^\circ$ . Надо только учесть отрицательные знаки косинуса, тангенса и котангенса во второй четверти.

Репетитору по математике остается выучить с учеником главную часть таблицы. И здесь есть красивые закономерности. Если репетитор дал ученику для тригонометрической таблицы числа $\dfrac{1}{2},\dfrac{\sqrt{2}}{2}, \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ , то можно заметить, что если мы представим $\dfrac{1}{2}$ в виде $\dfrac{\sqrt{1}}{2}$ , то получим единую структуру дробей и заучивать придется числа $1,2$ и $3$ . В этот момент ученику станет просто смешно и удивительно: почему он раньше не видел таких закономерностей.

Осталось запомнить порядок. Так как синус в первой четверти возрастает, то большему углу соответствует большее число под корнем. Я говорю так : большему углу — больший синус. Слабому ученику я многократно повторяю: синус работает в прямом порядке : большему большее, а меньшему меньшее. Это повторение слов, как правило, откладывается в его голове.

Легко понять. что с косинусом все наоборот: меньшему углу — больший косинус. Тоже самое выявляется у тангенсов, и котангенсов.

В таблицу значений тангенсов репетитору по математике необходимо записать числа без выбивающегося числа $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ , а именно так: $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ , $1$ и $\sqrt{3}$ . Тогда помимо соответствия меньшему — меньшее, абольшему — большее тангенсы будут образованы всеми различными комбинациями действий деления чисел: 1 и $\sqrt{3}$ . После таких аналогий 90-95 процентов учеников репетитора по математике не ошибаются в табличных значениях.

Вычисление арксинусов, арккосинусов, арктангенсов...

1. слово арксинус трудно и долго произносимое. Я намеренно проглатываю в некоторых ситуациях слово «синус» и говорю, например, так: для нахождения арка, требуется... Школьники понимают, о чем идет речь, а репетитор по математике при этом может акцентировать внимание на чем-то более важном.

2. В таблице, которую вы видите ниже, специально выделена область красным цветом. Она используется для нахождения арков.

Если табличное число в нее попадает — ученик смотрит на верхнюю строчку. Там располагается соответствующий арк этого числа. . Если он не попадает в таблицу из-за знака, то находим в ней противоположное к нему положительное число, смотрим на верхнюю строчку и добавляем минус к ответу. Например, при вычислении арксинуса числа $-\dfrac{1}{2}$ ученик ищет аксинус от $\dfrac{1}{2}$ и ставит минус у $\dfrac{\pi}{6}$ .

Для запоминания того, какие области обведены можно указать на такую закономерность: два торчащих пальца красной зоны соответствуют тем функциям, которые четные. Зоны углов, которые ими захватываются — это равные области значений именно арккосинуса и арккотангенса. Еще одна закономерность: именно у арккосинуса и арккотангенса схожие формулы нахождения арков от отрицательных чисел. И в одной и в другой получается $\pi$ минус арк от противоположного положительного числа.

Математика КАК 2х2.

вторник, 11 февраля 2014 г.

Cправочные материалы по тригонометрии. Формулы. Определения и свойства.

Как репетитору по математике составить и как учить с учеником таблицу значений тригонометрических функций

Что должен делать репетитор по математике?

Комментариев нет:

Отправить комментарий

Общее·количество·просмотров·страницы

Популярные сообщения

вторник, 11 февраля 2014 г.

Cправочные материалы по тригонометрии. Формулы. Определения и свойства.

Как репетитору по математике составить и как учить с учеником таблицу значений тригонометрических функций

Что должен делать репетитор по математике?

Комментариев нет:

Отправить комментарий

Общее·количество·просмотров·страницы

Популярные сообщения

вторник, 11 февраля 2014 г.