Методика работы с темой «замена переменной в уравнениях»

Слабый ученик — головная боль для репетитора по математике, так как традиционные методы объяснений ему не подходят. Причины этого несоответствия могут быть разными: от проблем, связанных со способностями обеспечивать достаточную скорость мышления и точную привязку мыслительных операций к определенным объектам до пропусков занятий и полного отсутствия практики общения с математическими понятиями и алгоритмами.

Особое умение репетитора выходить из таких, казалось бы, патовых ситуаций, связано с наличием в его арсенале средств различных хитрых типов объяснений текущих тем в обход каким-то навыкам и способностям, знаниям и умениям, приобретенным в результате долгого и упорного труда.

Слабые дети тоже бывают разными, но до определенной их части все-таки можно достучаться, сопоставляя изучаемые математические структуры и модели с реальными аналогами, или с явлениями похожими на них. Тогда и интерес появляется и информация в памяти хранится дольше (благо ассоциативная память включается) и быстрее приходит понимание (благо есть фундамент, на который можно хоть как-то опереться)

Замена переменной в уравнениях — одна из тем, часто попадающая в категорию до конца не понятой слабым учеником. В лучшем случае он просто заучивает алгоритм и при малейшем изменении условий его применения может растеряться. Как репетитор по математике может донести суть приема?

Рассмотрим для примера уравнение:

Сразу скажу, что методически будет правильнее сначала перенести все слагаемые в левую часть, чтобы оставшийся нуль в правой был бы постоянным, видимым и желаемым результатом вычислений при проверке корней.
Самому репетитору по математике (как и сильному ученику) решить уравнение не представляет труда. Делаем замену

Решаем уравнение

Его корни t1=-4 и t2=-1. Возвращаемся к переменной Х и решаем еще два уравнения

В первом из них нет решений, а во втором имеем единственный корень х=1.
Все ходы просты и понятны кому угодно, но только не слабому ученику, так как без соответствующих комментариев и аналогий уже на этапе перехода к уравнению

он, скорее всего, упустит нити рассуждений и потеряет взаимосвязи между числами.
На помощь репетитору по математике приходят как математические пояснения, так и примеры, не связанные напрямую с математикой. И в том и в другом случае до их использования репетитор должен развернуть структуру объекта перед ребенком и показать, как проверяется наугад взятое число на предмет попадания его в ответ. Это делается подстановкой тестируемого числа в левую часть уравнения и поэтапным подсчетом значения выражения

Сначала выполняются действия

(их результат обозначен буквой t) Затем, то, что получилось, подставляют в выражение

для сравнения его результата с нулем. Репетитору по математике желательно заострить внимание ученика на возможности такого «расчленения», а для запоминания порядка подсчета дать несколько простых упражнений. Можно попросить проверить несколько «наугад выбранных чисел», среди которых обязательно должен быть корень уравнения. Я предлагаю составить такую таблицу:

Соответствующие указатели и цветовые выделения помогут репетитору минимальным словесным описанием донести до ученика главное. Видно, что нулевой результат получился на последнем этапе вычислений при вставке числа −1 в выражение из третьей колонки. Понятно откуда эта «минус единица» пришла и какими действиями она получается.

Ставим перед учеником следующую цель: догадаться как число −1 можно было бы обнаружить, если бы мы его не знали и не видели его во втором и третьем столбике. Есть шанс, что ученик не растеряется и скажут репетитору: «надо решить уравнение t^2+5t+4 = 0». Отлично, можно идти дальше и обратить его внимание появлении числа −1 получается при подстановке х=1 в выражение

Значит х=1 - корень уравнения

Тот же ученик скажет репетитору:«надо решить уравнение x^2-2x=0»
Если понимание пришло, репетитору по математике необходимо акцентировать внимание ребенка на главной особенности уравнения, из-за которой такое решение возможно: наличие внутри левой части повторяющегося набора действий (повторяющегося выражения).

Далее... Озвучивание репетитором общего плана и техники решения всех таких уравнений со всеми сопутствующими ей атрибутами (на разобранном примере).

1) Ищем повторяющиеся выражения.
2) Обозначаем их новой буквой t.
3) Записываем шаблон будущего уравнения для нахождения иксов:

Желательно не использовать буквенные обозначения, закрепленные за другими объектами: страшим коэффициентом квадратного уравнения (буква «а»), осью ординат (буква «y») ...
4) Вставляем букву t в первоначальное уравнение вместо выражения

5)Решая уравнение
Находим корни (t1 и t2), гарантирующие получение нуля в последнем столбике таблицы.
6) Подставим найденные числа в выделенный «шаблон» и решим еще два уравнения:

Таким образом найдем иксы, при подстановке которых в выражение из второй колонки таблицы эти получатся «гаранты» t1 и t2.

Фактически репетитор по математике двигается с учеником по указанной таблице справа налево.

Если ученик не самый слабый, то достаточно показать схемку:

Если репетитор чувствует, что с открытой структурой объекта, понимание все равно не приходит и ученик не может осознать (или успевает забывать) что именно показывают числа t1=-4 и t2=-1, то можно предложить сравнить подбор чисел с работой кодового замка на двери, ведущей на какой-нибудь секретный объект. Как будто кодовый замок — это буквенное выражение в левой части уравнения, а нам надо найти верный код (число для вставки вместо Х), чтобы получить нуль в результате всех действий

Тогда дверь откроется.

Это замок двойной, он состоит из двух частей :
1)«Cистема преобразований» (или коротко: «переводилка») числового кода (Х) в числовой пароль t (его «вычисляет» выражение

2)«Система проверки» пароля, которая при получении нуля в результате действий

открывает дверь.

Решить уравнение — значит найти все коды, открывающие дверь. Как это сделать?

Логично сначала узнать все пароли (t1=-4 и t2=-1), при которых дверь открывается. Для этого решим уравнение

Затем для каждого из найденных паролей и попробовать подобрать коды, которые в них будут преобразованы действиями

Эти коды — наш ответ!
При такой методике объяснений репетитору по математике будет легче удержать внимание на структуре алгоритма. Так как слова код и пароль более коротки, понятны и знакомы чем сложные для осмысления строгие математические фразы «значение переменной, при которой значение выражения ...»

Если репетитору по математике опять не удалось добиться понимания, то можно привести более простую аналогию с реальностью (правда менее точную). На секретный объект имеют доступ несколько человек . Требуется пронести на него некоторые предметы. Представим себе, что эти предметы — числа (иксы). Какие из них как можно пронести?

На вопрос «как пронести» репетитору по математике ждать ответа не придется. Любой ученик скажет: «надо найти этих людей-агентов и передать с ними. Правильно! Числа −4 и −1 у нас играют роль агентов (буква t — дверь в которую они входят для получения разрешения пройти на территорию. Выражение x^2-2x похоже на карман, в который должен влезть нужный для проноса предмет (в его роли выступает число 1 из ответа).Невозможность найти корень уравнения

можно сравнить с ситуацией, когда ни один имеющийся у нас предмет не влезает в карман первого агента, а результат решения уравнения

сравнить с возможностью «запихнуть» второму посыльному в карман только одну единственную вещь : x=1 (карман очень маленький).

Можно назвать такой метод — методом аналогий. Его применение позволяет репетитору по математике в дальнейшем использовать красивые опорные слова в качестве подсказок ученику. Забыл с чего начать? Определяй агентов : t1 и t2. Если они уже найдены — определяй что залезет к ним в карман.

Анализ эффективности данной методики
Вопросы учеников к репетитору по теме