В чистом виде основные элементарные функции встречаются, к сожалению, не так часто. Гораздо чаще приходится иметь дело с элементарными функциями, полученными из основных элементарных при помощи добавления констант и коэффициентов. Графики таких функций можно строить, применяя геометрические преобразования к графикам соответствующих основных элементарных функций (или переходить к новой системе координат). К примеру, квадратичная функция
представляет собой квадратичную параболу
, сжатую втрое относительно оси ординат, симметрично отображенную относительно оси абсцисс, сдвинутую против направления этой оси на 2/3 единицы и сдвинутую по направлению оси ординат на 2 единицы.
http://www.cleverstudents.ru/functions_researching/function_researching.html

Давайте разберемся в этих геометрических преобразованиях графика функции пошагово на конкретных примерах.
Все элементарные преобразования графика применены к функции
, где
- коэффициенты сжатия (при
) или растяжения (при
) вдоль осей oy и ox соответственно, знаки «минус» перед коэффициентами
и
указывают на симметричное отображение графика относительно координатных осей, а и bопределяют сдвиг относительно осей абсцисс и ординат соответственно.






Таким образом, различают три способа геометрических преобразований графика функции:
- Первый способ - масштабирование (сжатие или растяжение) вдоль осей абсцисс и ординат.На необходимость масштабирования указывают коэффициенты
и
отличные от единицы, если
, то происходит сжатие графика относительно oy и растяжение относительно ox , если
, то производим растяжение вдоль оси ординат и сжатие вдоль оси абсцисс.
- Второй способ - симметричное (зеркальное) отображение относительно координатных осей.На необходимость этого преобразования указывают знаки «минус» перед коэффициентами
(в этом случае симметрично отображаем график относительно оси ox ) и
(в этом случае симметрично отображаем график относительно осиoy ). Если знаков «минус» нет, то этот шаг пропускается.
- Третий способ - параллельный перенос (сдвиг) вдоль осей ox и oy.Это преобразование производится В ПОСЛЕДНЮЮ ОЧЕРЕДЬ при наличии коэффициентов a и b, отличных от нуля. При положительном а график сдвигается влево на а единиц, при отрицательных а – вправо на а единиц. При положительном b график функции параллельно переносим вверх на b единиц, при отрицательном b – вниз на b единиц.
Теперь обо всем по-порядку.
Начнем с геометрических преобразований графика степенной функции.
Пример.
С помощью преобразования графика функции
построить
.


Решение.
Функция представляется в следующем виде:
.

Имеем
, причем перед этим коэффициентом знак «минус», а=-1/2 , b=3 . Следовательно, получили цепочку геометрических преобразований графика: растяжение вдоль оси ординат вдвое, симметричное отображение относительно оси абсцисс, сдвиг вправо на 1/2 и сдвиг вверх на 3 единицы.

исходная степенная функция


растягиваем вдоль оси oy вдвое


отображаем симметрично относительно оси ox


сдвигаем вправо на 1/2


сдвигаем вверх на 3 единицы


Рассмотрим пример геометрических преобразований графика показательной функции.
Пример.
Построить график показательной функции
.

Решение.
По свойствам степени преобразуем функцию:


Таким образом, имеем цепочку преобразований графика показательной функции
:



исходная показательная функция


сжимаем вдоль оси oy вдвое


растягиваем вдвое вдоль оси ox


отображаем симметрично относительно оси ox


отображаем симметрично относительно оси oy


сдвигаем вверх на 8 единиц


Сейчас проведем геометрические преобразования графика логарифмической функции y=ln(x).
Пример.
Построить
преобразованием графика функции 


Решение.
Используем свойства логарифма:


Таким образом, имеем цепочку преобразований графика логарифмической функции:


график исходной функции натуральный логарифм


сжимаем вдоль оси oy втрое


растягиваем вдвое вдоль оси ox


отображаем симметрично относительно оси oy


сдвигаем вверх на 2 единицы


Преобразование графиков тригонометрических функций подчиняется общей схеме геометрических преобразований
. Единственно хочется обратить внимание на влияние коэффициента
на период тригонометрических функций. При отличном от единицы коэффициенте
период становится равным
. То есть, при
растяжение графика функции вдоль оси абсцисс соответствует увеличению периода, а при
сжатие графика соответствует уменьшению периода. Коэффициент
влияет на амплитуду колебаний синусоиды и косинусоиды.







Геометрические преобразования синусоиды y=sinx.
Пример.
С помощью преобразования графика функции y=sinx построить 

Решение.
Приводим функцию к виду шаблона
:



Имеем
, причем перед коэффициентом
стоит знак «минус», перед
минуса нет.



Таким образом, цепочка преобразований графика функции y=sinx примет вид:


Поэтапное преобразование графика синусоиды. Графическая иллюстрация.
График исходной синусоиды y=sin(x) . Наименьший положительный период равен
. Максимумы находятся в точках
, минимумы – в точках
.





Растягиваем вдоль оси ординат втрое (амплитуда колебаний при этом возрастает в три раза). Наименьший положительный период равен
. Максимумы переходят в точки
, минимумы – в точки
.





Растягиваем вдоль оси абсцисс вдвое. Наименьший положительный период при этом вдвое увеличивается
. Максимумы переходят в точки
, минимумы – в точки
.





Симметрично отображаем относительно оси абсцисс. Наименьший положительный период при этом не меняется
. Максимумы переходят в точки
, минимумы – в точки
.





Сдвигаем график вправо на 3 единицы. Наименьший положительный период при этом не меняется
. Максимумы переходят в точки
, минимумы – в точки
.





Сдвигаем график вниз на 2 единицы. Наименьший положительный период при этом не меняется
. Максимумы переходят в точки
, минимумы – в точки
.





Этим этапом задача преобразования графика тригонометрической функции y=sinxзавершается.
Давайте рассмотрим геометрические преобразования тригонометрической функции y=cosx.
Пример.
Построить график функции
преобразованием косинусоиды y=cosx.

Решение.
Приводим функцию к виду шаблона
:



Имеем
, причем перед коэффициентом
стоит знак «минус», перед
минуса нет.



Таким образом, цепочка преобразований графика тригонометрической функции косинус примет вид:


Поэтапное преобразование графика косинусоиды. Графическая иллюстрация.
Исходный график y=cos(x) . Наименьший положительный период равен
. Максимумы находятся в точках
, минимумы – в точках
.





Растягиваем вдоль оси ординат в 3/2 раза (амплитуда колебаний при этом возрастает в3/2 раза). Наименьший положительный период равен
. Максимумы переходят в точки
, минимумы – в точки
.





Сжимаем график вдоль оси абсцисс вдвое. Наименьший положительный период при этом вдвое уменьшается
. Максимумы переходят в точки
, минимумы – в точки
.





Симметрично отображаем относительно оси ординат. В силу четности функции график при этом не изменится.


Сдвигаем график вправо на 1 единицу. Наименьший положительный период при этом не меняется
. Максимумы переходят в точки
, минимумы – в точки
.





Сдвигаем график вверх на 1 единицу. Наименьший положительный период при этом не меняется
. Максимумы переходят в точки
, минимумы – в точки
.





Этим этапом задача преобразования графика тригонометрической функции y=cosxзавершается.
Преобразование тригонометрической функции y=tgx.
Пример.
С помощью геометрических преобразований графика функции y=tgx построить 

Решение.
Приводим функцию к виду шаблона
:



Имеем
, причем перед коэффициентами
и
стоит знак «минус».



Таким образом, цепочка преобразований графика тангенсоиды примет вид:


Поэтапное преобразование графика тангенсоиды. Графическая иллюстрация.
Исходный график y=tg(x) . Наименьший положительный период равен
. Область определения
.




Производим сжатие вдоль оси ординат в 2 раза. Наименьший положительный период при этом не меняется
. Область определения остается прежней
.




Растягиваем график вдоль оси абсцисс в 3/2 раза. Наименьший положительный период при этом равен
. Область определения изменяется на
.




Симметрично отображаем относительно оси абсцисс. Период и область определения при этом не меняются.


Симметрично отображаем относительно оси ординат. Период и область определения при этом не меняются. Стоит заметить, что график в точности совпадает с графиком двумя шагами ранее. Это объясняется нечетностью функции тангенса. То есть, если к нечетной функции применить симметричное отображение относительно осей ox и oy , то получим исходную функцию.


Сдвигаем график вправо на
(примерно на полторы единицы). Наименьший положительный период при этом не меняется
. Область определения изменяется на
.





Сдвигаем график вверх на
(примерно на единицу). Период и область определения при этом не меняются.



Этим этапом задача преобразования графика тригонометрической функции y=tgxзавершается.
Геометрические преобразования обратной тригонометрической функции y=arccosx.
Пример.
Построить график функции
преобразованием графика y=arccosx.

Решение.
Сначала от арккосинуса перейдем к арксинусу, используя соотношение обратных тригонометрических функций 

Следовательно, 

Таким образом, имеем цепочку преобразований арккосинуса в арксинус:


Поэтапное преобразование графика арккосинуса. Графическая иллюстрация.
Исходный график y=arccos(x) .


Отображаем симметрично относительно оси ox .


Сдвигаем вверх на
.



Вот так перешли от арккосинуса к арксинусу.
Теперь проводим геометрические преобразования графика арксинуса.
Имеем
, причем перед коэффициентами
и
знака минуса нет.



Таким образом, цепочка преобразований графика y=arcsinx примет вид:


Поэтапное преобразование графика арксинуса. Графическая иллюстрация.
График функции y=arcsinx . Область определения
. Область значений
.




Растягиваем вдвое вдоль оси ординат. Область определения не меняется
. Область значений становится
.




Растягиваем вдоль оси абсцисс втрое. При этом область определения расширяется до
. Область значений не меняется
.




Сдвигаем график на единицу вправо. При этом область определения переходит в
. Область значений не меняется
.




Этим этапом задача преобразования графика обратной тригонометрической функции завершается.
Для построения графиков элементарных функций более сложного вида рекомендуем проводить полное исследование функции.
Комментариев нет:
Отправить комментарий