Начнем с простейшего случая, когда х=0 является корнем кубического уравнения 
.
В этом случае свободный член D равен нулю, то есть уравнение имеет вид 
.
.
Если вынести х за скобки, то в скобках останется квадратный трехчлен, корни которого легко найти либо через дискриминант, либо по теореме Виета 
.
http://intelmath.narod.ru/kangaroo-problems_1_5.html.
Пример.
Найти действительные корни уравнения 
.
.
Решение.
x=0 является корнем уравнения. Найдем корни квадратного трехчлена 
.
.
Так как его дискриминант 
меньше нуля, то действительных корней трехчлен не имеет.
меньше нуля, то действительных корней трехчлен не имеет.
Ответ:
х=0.
Если коэффициенты кубического уравнения являются целыми числами, то уравнение может иметь рациональные корни.
являются целыми числами, то уравнение может иметь рациональные корни.
При 
, домножим обе части уравнения на 
и проведем замену переменных y = Ax:
, домножим обе части уравнения на и проведем замену переменных y = Ax:
Пришли к приведенному кубическому уравнению. Оно может иметь целые корни, которые являются делителями свободного члена. Так что выписываем все делители и начинаем их подставлять в полученное уравнение до получения тождественного равенства. Тот делитель 
, при котором тождество получено, является корнем уравнения. Следовательно, корнем исходного уравнения является 
.
, при котором тождество получено, является корнем уравнения. Следовательно, корнем исходного уравнения является .
Далее делим многочлен 
на 
и находим корни полученного квадратного трехчлена.
на и находим корни полученного квадратного трехчлена.
Пример.
Найти корни кубического уравнения 
.
.
Решение.
Преобразуем уравнение к приведенному: домножим на 
обе части и проведем замену переменной y = 2x.
обе части и проведем замену переменной y = 2x.
Свободный член равен 36. Запишем все его делители: 
.
.
Подставляем их по очереди в равенство 
до получения тождества:
до получения тождества:
Таким образом, y = -1 является корнем. Ему соответствует 
.
.
на 
, используя 
Получаем,
Осталось найти корни квадратного трехчлена 
.
.
Очевидно, что 
, то есть, его кратным корнем является х=3.
, то есть, его кратным корнем является х=3.
Ответ:
.
Замечание.
По такому алгоритму можно решать возвратные уравнения. Так как -1 является корнем всякого возвратного кубического уравнения, то можно разделить левую часть исходного уравнения на х+1 и найти корни полученного квадратного трехчлена.
В случае, когда кубическое уравнение не имеет рациональных корней, применяются другие способы решения, к примеру, специфические способы разложения многочлена на множители.
Комментариев нет:
Отправить комментарий