В этой статье мы рассмотрим операции, которые можно производить с векторами на плоскости и в пространстве. Далее мы перечислим свойства операций над векторами и обоснуем их с помощью геометрических простроений. Также покажем применение свойств операций над векторами при упрощении выражений, содержащих векторы.
Для более качественного усвоения материала рекомендуем освежить в памяти понятия, данные в статье векторы - основные определения.
Операция сложения двух векторов - правило треугольника.
Покажем как происходит сложение двух векторов.
Сложение векторов 
и 
происходит так: от произвольной точки A откладывается вектор 
, равный , далее от точки B откладываеься вектор 
, равный , и вектор 
представляет собой сумму векторов и . Такой способ сложения двух векторов назваетсяправилом треугольника.
и происходит так: от произвольной точки A откладывается вектор , равный , далее от точки B откладываеься вектор , равный , и вектор представляет собой сумму векторов и . Такой способ сложения двух векторов назваетсяправилом треугольника.
Проиллюстрируем сложение не коллинеарных векторов на плоскости по правилу треугольника.
А на чертеже ниже показано сложение сонаправленных и противоположно направленных векторов.
Сложение нескольких векторов - правило многоугольника.
Основываясь на рассмотренной операции сложения двух векторов, мы можем сложить три вектора и более. В этом случае складываются первые два вектора, к полученному результату прибавляется третий вектор, к получившемуся прибавляется четвертый и так далее.
Сложение нескольких векторов выполняется следующим построением. От произвольной точкиА плоскости или пространства откладывается вектор, равный первому слагаемому, от его конца откладывается вектор, равный второму слагаемому, от его конца откладывается третье слагаемое, и так далее. Пусть точка B - это конец последнего отложенного вектора. Суммой всех этих векторов будет вектор .
.
Сложение нескольких векторов на плоскости таким способом называется правилом многоугольника. Приведем иллюстрацию правила многоугольника.
Абсолютно аналогично производится сложение нескольких векторов в пространстве.
Операция умножения вектора на число.
Сейчас разберемся как происходит умножение вектора на число.
Умножение вектора на число k соответствует растяжению вектора в k раз при k > 1 или сжатию в 
раз при 0 < k < 1, при k = 1 вектор остается прежним (для отрицательных k еще изменяется направление на противоположное). Если произвольный вектор умножить на ноль, то получим нулевой вектор. Произведение нулевого вектора и произвольного числа есть нулевой вектор.
раз при 0 < k < 1, при k = 1 вектор остается прежним (для отрицательных k еще изменяется направление на противоположное). Если произвольный вектор умножить на ноль, то получим нулевой вектор. Произведение нулевого вектора и произвольного числа есть нулевой вектор.
К примеру, при умножении вектора на число 2 нам следует вдвое увеличить его длину и сохранить направление, а при умножении вектора на минус одну треть следует уменьшить его длину втрое и изменить направление на противоположное. Приведем для наглядности иллюстрацию этого случая.
на число 2 нам следует вдвое увеличить его длину и сохранить направление, а при умножении вектора на минус одну треть следует уменьшить его длину втрое и изменить направление на противоположное. Приведем для наглядности иллюстрацию этого случая.
Свойства операций над векторами.
Итак, мы определили операцию сложения векторов и операцию умножения вектора на число. При этом для любых векторов 
и произвольных действительных чисел 
можно при помощи геометрических построений обосновать следующие свойства операций над векторами. Некоторые из них очевидны.
и произвольных действительных чисел можно при помощи геометрических построений обосновать следующие свойства операций над векторами. Некоторые из них очевидны.- Свойство коммутативности
.
- Свойство ассоциативности сложения
.
- Существует нейтральный элемент по сложению, которым является нулевой вектор
, и 
. Это свойство очевидно. - Для любого ненулевого вектора существует противоположный вектор
и верно равенство 
. Это свойство очевидно без иллюстрации. - Сочетательное свойство умножения
. К примеру, растяжение вектора в 6 раз можно произвести, если сначала его растянуть вдвое и полученный вектор растянуть еще втрое. Аналогичного результата можно добиться, например, сжав вектор вдвое, а полученный вектор растянуть в 12 раз. - Первое распределительное свойство
. Это свойство достаточно очевидно. - Второе распределительное свойство
. Это свойство справедливо в силу подобия треугольников, изображенных ниже.
- Нейтральным числом по умножению является единица, то есть,
. При умножении вектора на единицу с ним не производится никаких геометрических преобразований.
Рассмотренные свойства дают нам возможность преобразовывать векторные выражения.
Свойства коммутативности и ассоциативности операции сложения векторов позволяют складывать векторы в произвольном порядке.
Операции вычитания векторов как таковой нет, так как разность векторов и 
есть сумма векторов и 
.
и есть сумма векторов и .
Учитывая рассмотренные свойства операций над векторами, мы можем в выражениях, содержащих суммы, разности векторов и произведения векторов на числа, выполнять преобразования так же как и в числовых выражениях.
Разберем на примере.
Пример.
Упростите выражение, содержащее векторы 
.
.
Решение.
Если воспользоваться вторым распределительным свойством операции умножения вектора на число, то получим 
.
.
В силу сочетательного свойства умножения имеем 
.
.
Свойство коммутативности операции сложения векторов позволяет поменять местами второе и третье слагаемые 
, а по первому распределительному свойству имеем 
.
, а по первому распределительному свойству имеем .
А теперь запишем кратко: 
.
.
Ответ:
.
Комментариев нет:
Отправить комментарий