Подготовка к ЕГЭ по математике/ Планиметрия. Тест №1.

Вниманию репетиторов и их учеников предлагается небольшой тренировочный комплект тестовых планиметрических задач для подготовки к ЕГЭ по математике. Он содержит 10 номеров среднего уровня сложности, рассчитанных на школьника, свободно решающего планиметрию в «B» части ЕГЭ, но испытывающего серьезные проблемы с номером C4. Обычно репетитор по математике таких учеников и набирает.
Как ввести ответ?
Поле для ответа располагается внизу каждого выделенного задания. Кликните на него мышкой и введите число. Не нажимая клавишу Enter заполните следующее поле. Ответом должно быть либо целое число, либо конечная десятичная дробь. Единицы измерения не указываются! Успехов!

Подготовка к ЕГЭ по математике. Планиметрия, №1

№1 Найдите площадь треугольника ABC, если две его медины BH и AK взаимно перпендикулярны и равны соответственно 3см и 2 см

Ответ:

№2 В треугольнике ABC стороны AB, BC и AC равны соответственно 2см, 3см и 4см. Найдите квадрат длины биссектрисы AD

Ответ:

№3 В прямоугольном треугольнике высота и медиана, выходящие из вершины прямого угла, относятся как 8:17. Найдите отношение меньшего катета к большему

Ответ:

№4 Найдите сторону квадрата, вписанного в треугольник с основанием равным 6см и высостой 4 см.

Ответ:

№5 Диагональ равнобокой трапеции равна 5см, а ее средняя линия равна 4см. Найдите ее площадь в см^2.

Ответ:

№6 В параллелограмме меньшая диагональ перепендикулярна боковой стороне. Высота, проведенная из вершины тупого угла, делит большую сторону на отрезки 64см и 25см. Определить площадь треугольника заключенного между большей стороной и диагоналями параллелограмма.

Ответ:

№7 Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник равен 2. Найдите площадь данного треугольника если его гипотенуза равна 10.

Ответ:

№8 Окружность проходит через вершину острого угла прямоугольного треугольника и касается его большего катета прямоугольного треугольника и имеет центр на гипотенузе. Найдите ее диаметр, если значения длин катетов треугольника равны 3 см и 4 см.

Ответ:

№9 В угол, граджусная мера которого равна 60⁰ вписана малая окружность радиуса 1см. Найти радуиус большой окружноси, касающейсямалой и вписанной у тот же угол.

Ответ:

№10 Диагонали трапеции MNPQ (основания MQ и NP) пересекаются в точке C так, что MC:CP=3:2. Найдите площадь треугольника NPQ, есплощадь этой трапеции равна 8.

Ответ:

Зачем нужны тематические тесты?

На одном только разборе реальных вариантов ЕГЭ репетитор по математике далеко не уедет. Требуется некое промежуточное звено из средних задач, способное построить мостик к задаче С4. Этим звеном может стать система подготовительных тематических тестов.Подготовка к ЕГЭ по математике — сложная и ответственная работа. Она требует от репетитора не только огромного желания помочь школьнику, но и знаний того, как это сделать. Система тематических тестов способная снизить негативные последствия стандартизации ЕГЭ и плавно подвести ученика к пониманию конкурсной математики.

Хороший репетитор по математике всегда настраивает свои методики под конкретного ученика. Упражнения выстраиваются в определенную последовательность, обеспечивающую перебор всех основных приемов по нарастанию уровня их сложности. К сожалению, ЕГЭ варианты не дают репетитору математики достаточной базы для проведения такой работы. Планиметрия на ЕГЭ либо слишком простая, либо слишком сложная. Это превращается в настоящую проблему, ибо ученики иногда наотрез отказываются решать задачи, взятые не из модных типовых сборников. Приходится подключать родителей и объяснять, чтопрофильная подготовка к ЕГЭ по математике обязательно должна разбивается на этапы. Сначала рассматриваются средние (подготовительные) задачи и только потом — конкурсные. Для первого этапа я советую репетиторам по математике использовать старые, зарекомендовавшие себя сборники задач, методички различных подготовительных курсов прошлых лет (лично я использую очень хороший Плехановкий сборник).

Он лайн тесты призваны помочь репетитору с отбором и сортировкой подготовительных задач. В свою очередь они тоже будут разделяться на темы. Пока предлагаю общие тесты.

Надеюсь, что репетиторы математики оценят идею тематических тестов ЕГЭ и будут использовать их в своей работе. Решать их можно начиная с середины 9 класса.

Как репетитор по математике сможет использовать тесты?

Он-лайн форма позволит репетитору удобно и эффективно работать с домашними заданиями ученика на растоянии. Это особенно важно для удаленных занятий, занятий по скайпу. Можно выяснить, какие именно задачи ученик решил неправильно уже на стадии подготовки к уроку. Удобно? Для этого достаточно задать тест на дом и попросить выслать результаты его прохождения по электронной почте. Скоро такая возможность будет предоставлена.

Задачи на подобие и площади.

Большинство используемых репетиторами по математике сборников задач предоставляют из себя в практическом и методическом плане сырой и не всегда пригодный для достижения практических / локальных целей материал. Обычно в нем объединяются конкурсные задачи с вступительных экзаменов прошлых лет и ЕГЭ вариантов сразу на все темы и приемы решений. Как правило, планиметрия в них представлена неким общим списком задач, без четкой сортировки и соответствий правилам возрастания уровня сложности. В итоге репетитор по математике тратит уйму времени на то, чтобы выловить из длинного списка хорошую полезную задачу, соответствующую диапазону изучаемого теоретического материала.

На страницах своего сайта я публикую специально отобранные и идейно продуманные материалы, составляющие коллекции задач. Они используются на реальных занятиях и рекомендуются репетиторам для формирования конкретных навыков и умений. Репетиторы по математике получают готовые разработки занятий с рассчетом на 1-2 урока и соответствующим списком домашних упражнений, удобно представленном на листочке. На этой странице я размещаю задачи на площадь и подобие треугольников.

Рассматриваются самые разные ситуации и методы использования подобия треугольников. Матераилы могут использоваться репетитором по математике в 8 классе (в соответствии с программой Атанасяна), а также применяться для подготовки к ГИА и ЕГЭ в 9 — 11 классе.
На каждой карточке представлены аналогичные / близкие по методу решения и теоретическому сопровождению номера. Задачи левой части списка репетитор по математике разбирает на очном занятии со школьником, а правая сторона ориентирована на самостоятельную / домашнюю проработку. Комплект рассчитан на среднего и сильного ученика (8 — 11 класс) и жесткого временного графика работы репетитора по математике (каким обычно является график подготовки к ЕГЭ и ГИА). В списке присутствует минимальное число идейно близких задач. Для слабого школьника я рекомендую добавлять в комплект еще по одной задаче на каждую ее разновидность.

Комлект задач репетитора

на площадь и подобие.

8 класс

Задачи на повторение курса геометрии в 8 классе.

Базовый уровень.

Дидактический материал для работы репетитора по математике с учеником 8 класса слабого и среднего уровня способностей. Базовый учебник по геометрии — Атанасян 7-9 кл. Почти все задачи составлены так, что первая решается в совместно с репетитором, а вторая остается для домашней работы. Вторая отличаются от первой только числами.

№1. В параллелограмме АВСD высота ВH равна 4 см, а сторона ВС=10см. Найти площадь параллелограмма.

№2. В трапеции ABCD CH – высота, BC=2см, AH=3см, HD=5см, CH=4см. Найдите площадь данной трапеции.

№3. В параллелограмме MNKP MT- биссектриса угла M. Известно, что NT=5см, TK=3см. Найти периметр данного параллелограмма.

№4.1 В трапеции MNKP верхнее основание NK и средняя линия AB равны соответственно 5 и 9 см.
Найти ее нижнее основание.

№4.2 В трапеции PQNE нижнее основание PE и средняя линия KN равны соответственно 10 и 7 см. Найти ее верхнее основание.

№5.1 В прямоугольнике ABCD проведены биссектрисы углов А и D, которые пересекаются в точке М, лежащей на стороне B. Найдите периметр ABCD , если АВ=6см.

№5.2 В прямоугольнике ABCD проведена биссектриса угла А, которая разбивает сторону ВС на отрезки длиной 5см и 3 см. Найти периметр прямоугольника ABCD.

№6.1 На окружности отмечены точки А,В,С,D так, что АВ ее диаметр, а угол АСD равен $20^\circ$ . Найти угол DСВ.

№6.2 На окружности отмечены точки А,В,С,D так, что АС-диаметр, угол АСD равен $10^\circ$ , а угол ВАС равен $20^\circ$ . Найдите угол ВСD.

№7.1 На окружности отмечены точки В, N и D. Угол ВND равен $70^\circ$ . Найдите угол ВОD.

№7.2 На окружности отмечены точки В, К и C. Угол ВОС равен $160^\circ$ . Найти угол ВКС.

№8.1 В прямоугольном треугольнике АСВ катет СВ равен 4 см, угол В равен $45^\circ$ . Найти гипотенузу АВ.

№8.2 В прямоугольном треугольнике АСВ катет СА равен 3 см, угол А равен $45^\circ$ . Найти гипотенузу АВ.

№9* В трапеции АВСD АВ=СD, АС=5см, СH=3см. Найти площадь трапеции.

№10.1 Найти площадь трапеции, стороны которой равны 16, 13, 6 и 13 см.

№10.2 Найти площадь трапеции, стороны которой равны 17, 10, 5 и 10 см.

№11.1 Найти площадь прямоугольного треугольника с катетами 2 и 4 см.

№11.2 Найти площадь прямоугольного треугольника с катетами 3 и 5 см.

№12.1 Найти площадь прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 25 см, а один из катетов – 20 см.

№12.2 Найти площадь прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 17 см, а один из катетов – 8 см.

№13.1 Найти площадь квадрата, диагональ которого равна 4 см.

№13.2 Найти площадь квадрата, диагональ которого равна 6 см.

№14.1 Найти площадь прямоугольного треугольника , гипотенуза которого равна 12 см, а один из острых углов cоставляет $60^\circ$ .

№15.1 Найти площадь прямоугольного треугольника , гипотенуза которого равна 16 см, а один из острых углов равен $30^\circ$ .

№16.1 В прямоугольном ∆ АВС : $\angle C$ – прямой, АВ= $3\sqrt{5}$ , АС=3, ВС=6. Найти sinA, cosA, tgA.

№16.2 В прямоугольном ∆ АВС : $\angle C$ – прямой, АВ= $3\sqrt{2}$ , АС=4, ВС= $\sqrt{2}$ .
Заполнить таблицу:
Задание репетитора по математике

№17.1 В прямоугольном ∆ АВС : ∠C – прямой, АВ=6, ∠B= $30^\circ$ . Найти АС, ВС.

№17.2 В прямоугольном ∆ АВС : ∠C – прямой, СВ=6, ∠B= $30^\circ$ . Найти АС, АВ.

Задачи по геометрии на рисунках:

№18-19 Найдите по данным рисунка стороны X и Y (левая задача разбирается с репетитором по математике совместно, а правая предназначена для домашней работы)
Задание репетитора по математике №18

№20-21 Выразите через X и Y стороны а и b а и b (левая задача разбирается с репетитором по математике совместно, а права предназначена для домашней работы)
Задание репетитора по математике №20

№22 Найдите по данным рисунка длины отрезков X, Y и Z:
Задание репетитора по математике №22

Автор подборки задач — Николай Викторович, репетитор по математике в отставке.

Задачи по геометрии для 7 класса. Равные треугольники, равнобедренный треугольник, свойство биссектрис, высот и серединных перпендикуляров. Уровень С

На этой странице публикуются наиболее интересные задачи по геометрии для 7 класса уровня С, которые или составлены мной лично или проходили через меня в тот или иной период репетиторской работы. Преподавание геометрии способному ребенку — истинное удовольствие для любого репетитора по математике, особенно если под рукой хороший комплект уникальных и содержательных задач. Для маленьких учеников репетитору всегда не хватает хороших задач, их мало, так как дети еще многого не знают. Возможности составителей придумать что-то новое и интересное в рамках программы, сильно ограничены. Одно из направлений работы сайта «профессиональный репетитор по математике» — поиск, сортировка и составление таких задач. Именно тех, над которыми можно и нужно размышлять, задачи, которые не решаются одним взглядом по образцу и подобию, которые можно показать не только одаренным детям. Не путайте их с олимпиадными и конкурсными.

1) В четырехугольнике $ABCD$ точки $E$ и $F$ — соответственно середины равных сторон $AB$ и $CD$ . Серединные перпендикуляр к стороне $AD$ пересекает серединный перпендикуляр к стороне $BC$ в точке $P$ . Докажите, что серединный перпендикуляр, проведенный к отрезку $EF$ проходит через точку $P$ .

2) В четырехугольнике $ABCD$ серединные перпендикуляры к сторонам $AB$ и $CD$ пересекаются на стороне $AD$ . Известно, что $\angle A = \angle D$ . Докажите, что в четырехугольнике диагонали равны.

3) В квадрате $ABCD$ даны точки $E$ и $F$ соответственно на сторонах $AB$ и $BC$ ,причем $\angle AED = \angle FED$ . Докажите равенство $EF = AE + FC$

Комментарий репетитора по математике: для решения этой задачи достаточно элементарных представлений о квадрате. Обычно они у 7 классника есть. И тем более они есть у того, кто пробует решать такие задачи.

4) В треугольнике $ABCD$ проведены биссектрисы $BB_1$ и $CC_1$ , пересекающиеся в точке M, а в треугольнике $AC_1B_1$ проведены биссектрисы $C_1C_2$ и $B_1B_2$ , пересекающиеся в точке $N$ . Докажите, что $A, N$ и $M$ лежат на одной прямой.

5) В равнобедренном треугольнике $ABC$ c основанием $AC$ на боковых сторонах отложены равные отрезки $AP$ и $CQ$ . Отрезки $AQ$ и $CP$ пересекаются в точке $E$ . Докажите, что $BE$ — биссектриса угла $B$ .

6) В равнобедренном треугольнике $MNK$ на боковых сторонах $MN$ и $NK$ даны точки $P$ и $Q$ так, что $MP=QK$ . На основании $MK$ отмечены еще две точки $A$ и $B$ такие, что $MA=KB$ . Известно, что $AN \cap KP = E$ и $BN \cap MQ = F$ . Докажите, что $\angle NEF = \angle NFE$ .

7) В треугольнике $ABC$ проведены две биссектрисы $AM$ и $CN$ , пересекающиеся в точке $P$ . Известно, что $\angle ABC=120^\circ$ , $\angle BPC=105^\circ$ . Доказать, что $\vartriangle ABC$ — равнобедренный.

8) Дан треугольник ABC, у которого $\angle A =120^\circ$ . Докажите, что треугольник, с вершинами в основаниях его биссектрис — прямоугольный.

P.S. Конечно, для решения первых задач семиклассник должен иметь элементарные представления о четырехугольниках. Однако, учитывая низкую смысловую нагрузку на новые понятия и уровень проявляющего интерес к математике школьника, репетитору не придется тратить время на разжевывание и закрепление элементарного. Хватит и пяти минут. При использовании понятия «диагональ» репетитор по математике примитивнейшим образом показывает ее на рисунке. В других ситуациях (когда ученик слабый) придется готовить специальные задания на отработку нового термина.

Обычно дети, проявляющие способности и интерес к математике, легко обучаемы ее основам, поэтому репетитор вполне может немного «забежать вперед» по программе. Если он не собирается опережать школу — следует изменить условия первых задач. Вместо четырехугольника репетитору по математике следует указать самые обычные 4 точки с равными отрезками.

Задачи на свойство биссектрисы угла треугольника. Уровень B.

Из базы задач репетитора по математике.

Комплект более сложных задач на свойство биссектрисы в треугольнике. Для преподавателей и репетиторов по математике, работающих с учениками 8 класса по учебнику Атанасяна. Заполнять сраничку планируется по мере того, как будут составляться и попадаться интересные задачи этого типа. Если вы преподаватель или репетитор по математике и хотите поучаствовать в составлении дидактических материалов на эту тему — я с удовольствием размещу ваши задачи у себя на сайте. Присылайте ваши материалы мне на почту Alex36@mail.ru

Задача №1 от репетитора по математике. В треугольнике MNP биссектрисы MD и NK пересекаются в точке P. Найдите в каком отношении точка P делит биссектрису NK, если MN=5см, NP=3см, MP=7см.

Задача №2 от репетитора по математике. Дан треугольник АВС со сторонами AB=15см, BC=12см и AC=18см . В каких отношениях, считая от вершин C и B биссектрисы CM и BN делятся их точкой пересечения?

Задача №3 от репетитора по математике. В прямоугольном треугольнике точка пересечения биссектрис делит биссектрису острого угла на отрезки длиной 2см и 1см. Найдите площадь треугольника.

Задача №4 от репетитора по математике. В прямоугольном треугольнике биссектриса прямого угла делит гипотенузу на отрезки, длины которых относятся как 5:12. Найдите гипотенузу треугольника, если его периметр равен 60см.

Задача №5 от репетитора по математике.. В прямоугольном треугольнике ABC биссектриса угла А делит катет BC на отрезки 4см и 5 см. На какие отрезки эта биссектриса делит высоту CD, опущенную на гипотенузу?

Задача №6 от репетитора по математике.. В прямоугольном треугольнике PNK гипотенуза NK=20см,а катет PN=16см. Найдите квадрат расстояния от вершины P до биссектрисы угла K.

Задача №7 от репетитора по математике.. В прямоугольном треугольнике MNE катет ME равен 12см, а гипотенуза NE имеет длину 20см. Найдите квадрат расстояния от вершины M до биссектрисы угла E.

База задач репетитора по математике.

Планиметрия на четырехугольниках.

В помощь для подготовки к ЕГЭ.

Представляю вам свою подборку задач по геометрии с участием различных видов четырехугольников: параллелограммов, ромбов, квадратов, прямоугольников, трапеций и четырехугольников общего вида. Репетитор по математике может использовать их на этапе повторения курса планиметрии в 9 классе, а также для тренировки умения решать задачи с4 на ЕГЭ. Основу моей базы задач состаляют реальные задачи с вариантов вступительных экзаменов в сильные ВУЗы с высокими требованиями по математике: МГУ, ФА, РЭА, МАИ, МИФИ, МФТИ и др. Рядом с некоторыми номерами указан их первоисточник. Некоторые задачи авторские и составлены лично мной.

Задачи в помощь репетитору по математике:

1) Площадь некоторого четырехугольника равна $2$ $cm^2$ . Все четыре его стороны продолжены в одном (круговом) направлении, каждая на половину своей длины. Найдите площадь другого четырехугольника, вершинами которого служат концы продолженных сторон. Экзамен в ФА (Финансовая академия).

2) Трапеция разделена диагоналями на $4$ треугольника. Найдите площадь этой трапеции, если площади треугольников, прилегающих к основаниям равны $9$ и $16$ см.

3) Найдите площадь четырехугольника, имеющего равные диагонали, если известно, что отрезки, соединяющие середины противоположных сторон равны $1$ см.

4) Каждая из диагоналей трапеции является биссектрисой одного из ее уголов. Высота трапеции равна $10$ см, а угол между ее диагоналями равен $80^\circ$ .

5) Найти площадь параллелограмма $ABCD$ , если известно, что $\angle ADC =30^\circ, AD=2$ см, а прямая, проходящая через вершину C и середину стороны АВ, отсекает от параллелограмма равнобедренный треугольник.

6) Стороны параллелограмма равны $3$ см и $5$ см, а одна из его диагоналей равна $4$ см. Биссектрисы острых углов параллелограмма разбивают его на три фигуры. Найти площади этих фигур. Экзамен в МАИ.

7) Диагональ трапеции, длина которой в $\sqrt{3}$ раз больше длины одного из оснований трапеции, делит пополам угол при другом основании. Найти площадь трапеции, если диагонали точкой пересечения делятся в отношении $1:3$ , а высота трапеции равна
$\sqrt{3}$ см. Экзамен в МАИ.

8) Средняя линия трапеции равна $5$ см, а длина отрезка, соедиянющего середины ее оснований равна $3$ см. Найдите длину большего основания, если углы при нем равны $30^\circ$ и $60^\circ$ . Экзамен в РЭА им. Плеханова.

9) Длины оснований трапеции равны $3$ и $4$ см. Найдите ее площадь, если известно, что длина отрезка, соединяющего середины ее оснований равна $2,5$ см. Экзамен в МГУ, Механико-математический факультет.

10) Точка E — середина стороны BC параллелограмма $ABCD$ , его диагональ AC пересекает отрезок DE в точке К. Найдите площадь этого параллелограммма , если площадь треугольника CEK равна $2cm^2$ .

11) Площадь параллелограмма $ABCD$ равна $2$ . На его стороне $BC$ отмечена середина E. Найдите площадь треугольника $AME$ , где M — точка пересечения $AE$ и $BD$ .

12) Биссектрисы углов $A$ и $B$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке, принадлежащей стороне $CD$ . Найти отношение длин сторон параллелограмма.

13) При последовательном соединении середин сторон середин сторон некоторого четырехугольника получается ромб с диагоналями $4$ и $6$ см. Найти площадь этого четырехугольника.

14) Найдите диагональ равнобокой трапеции, если ее средняя линия равна $6$ см, а высота равна $\sqrt{13}$ см.

15) В четырехугольнике $ABCD$ угол A равен $16^\circ$ , угол B равен $88^\circ$ , а угол С равен $32^\circ$ . Стороны AB и BC равны между собой. Найдите угол между стороной AB и диагональю BD.

16) В четырехугольнике ABCD известно, что стороны AB и BC, а угол между ними равен $80^\circ$ . Угол между стороной AB и диагональю BD равен $20^\circ$ , $\angle C=2 \cdot \angle A$ . Найдите угол A данного четырехугольника.

17) ABCD — квадрат, длина стороны которого равна $6$ см. Точка K середина стороны BC, а точка P — точка пересечения прямых AK и BD. Найдите площадь треугольника BKP. Экзамен в РЭА им. Плеханова.

18) ABCD — квадрат, длина стороны которого равна 6 см. Точка М делит его сторону CD в отношении $2:1$ , считая от вершины C. Точка E — точка пересечения прямых AM и BD. Найдите площадь треугольника DEM. Экзамен в РЭА им. Плеханова.

Темы: Геометрия, Задачник по геометрии

Математика КАК 2х2.

Геометрия.