Что больше: e в степени пи или пи в степени е?

Недавно ко мне обратился один школьник с вопросом о сравнении двух чисел. Нужно было выяснить, что больше: е в степени пи или пи в степени е? Красивое сочетание. Не правда ли? Репетитор по математике, который с ним занимался весь год, не смог справиться с такими иррациональностями, а мне всегда было интересно повозиться с теми номерами, которые у кого-либо не получились. Должен же репетитор уметь решать нестандартные задачи.

Ученик попался на удивление пробивной и вместе с вопросом прислал ссылку на самостоятельно найденное решение в интернете. Оно оказалось для него слишком сложным и непонятным, так как использовало свойство числовых рядов.  Интересно было бы не просто найти доступное для школьника решение задачи и опубликовать его в готовом виде, а показать, каким образом репетитор по математике ищет решения нестандартных задач. Хотелось описать ход своих мыслей.

Итак, нужно сравнить  и  

Понятно, что вычислять «в лоб» нереально, а калькулятор в таких случаях применять запрещается. Думаю так: скорее всего необходимо растащить показатели и основания степеней, по ходу меняя сравнение на что-то равносильное. Иначе во множестве элементарных функций мы не найдем ту самую функцию, которая поможет сравнить числа на основании свойств своей монотонности. Разорвать термоядерную иррациональную парочку можно только при вычислении логарифма. Поэтому я сразу же прологарифмировала степени устремила мысль в направлении  и . Основание логарифма было выбрано не случайно. Сказалось присутствие экспоненты.

Задача свелась к сравнению чисел  и . Далее я заметила, что замена в их записях  на  дает равные числа. Как бы это использовать? Держу в уме главную идею: если у задания есть элементарное решение, то рано или поздно придется ввести какую-нибудь монотонную функцию. Это явно не  так как число не является значением в удобной для сравнения с pi точке. Тем не менее выявленное равенство результатов, наверное, необходимо как-то использовать. Как?

Вспоминаю, что доказательство какого-либо неравенства в математике равносильно доказательству того, что разность рассматриваемых чисел имеет определенный знак. А это все равно, что сравнивать разность  с нулем. Именно он получается при замене в ней числа  на число . Как теперь должен действовать репетитор по математике? Конечно же рассматривать функцию  и доказывать ее монотонность при . Если функция окажется возрастающей, то так как , то  и поэтому .

Осталось найти производную и проверить, что  возрастает при . Имеем . Очевидно, что если x>e, то . Следовательно  возрастает на промежутке . Поэтому и следовательно е в степени пи больше чем пи в степени е

Удаляя все рассуждения решение задачи запишем его компактно:

Весь процесс занял около 10-15 минут и большую его часть я думала. Не могу сказать, что каждый репетитор по математике обязан уметь консультировать ученика по заданиям олимпиадного характера, но знать о некоторых приемах размышлений ему было бы полезно.