Репетитор по математике в работе с темой «вычисление производной»

Техника вычисления производных – важнейший навык, необходимый как для подготовки к ЕГЭ по математике в 11 классе, так и для понимания высших основ предмета. Весь школьный матанализ построен на прямых следствиях свойств дифференцируемости, умение использовать которые является базовым навыком, обязательным для всех учащихся. Какие типичные трудности в работе с темой испытывает репетитор по математике? Как научиться выходить из сложных учебных ситуаций? На что обратить внимание начинающему преподавателю? Хотелось бы поделиться своим опытом работы с отстающими учениками и дать несколько полезных советов по организации индивидуальных уроков.

Представим себе среднего школьника и спокойный режим занятий не реже 2 раз в неделю. При таком графике репетитор по математике, не обремененный проблемой ускоренной подготовки к ЕГЭ, имеет время на применение методик в их оптимальном сочетании. Работают стандартные схемы объяснений, а самое главное появляется время на выработку подготовительных навыков. Время – важный фактор, который при умелом его использовании работают только в плюс. Будем считать, что оно у нас есть. Как передать ученику умение работать с производными? Как репетитору оптимизировать процесс решения задач на дифференцирование?

Пагубное влияние на изучение данной темы, безусловно, оказывает >strong>ЕГЭ. И главным образом благодаря стандартизации каждого номера. Тема «производная сложной функции» на ЕГЭ по математике остается не востребованной. Она сложна для части «B», и в то же время не отвечает ни одному из типов задач части «С». В результате ВУЗы вынуждены набирать учеников, не имеющих навыков проведения исследований целого класса элементарных функций. Одна из причин – неумение находить производную сложной функции. О ней и поговорим.

Метода репетитора по математике.

До того, как приступить к обучению вычислять производную сложной функции репетитору необходимо провести с учеником определенную подготовительную работу. Ее цель — сформировать представление о сложной функции. Отдельно разбираются двух ее составляющие: внешняя и внутренняя, вводится обозначение закрепляется примерами. Однако, мало только показать примеры.

Понимание и запоминание особенностй нового объекта возникает в процессе практической работы с ним. Для этого нужны специальные задания. Какие? Дидактическая часть подготовительных задач многих учебников оставляет желать лучшего. Например, в базовом учебнике Колмогорова этих задач очень мало, а те, что есть, не рассчитаны на слабого ученика. Как по количеству упражнений, так и по их последовательности.

Первым же номером Колмогоров отрабатывает умение разрывать функцию f (g (x)) на отдельные составляющие (на внутреннюю и внешнюю), допуская при этом, на мой взгляд, весомый методический просчет в порядке изучения нового объекта. Выделению графических образов f (x) и g (x) мешает искаженная форма f (x) и наличие всего лишь одной буквы икс в записи всей конструкции. Это является главным источником проблем распознавания. Репетитор по математике должен знать о ней и начать урок с «перевернутого» задания. Сначала научить составлять сложную функции (по заданной внешней и внутренней), а уже после этого учить расчленять ее на компоненты.

При объяснении темы важно точно подобрать лексикон. Полезно использовать слова «вставить» или «вложить». Например: возьмем две функции  и . Из них можно сконструировать еще две: Вместо икса под знак корня вставить , или, наоборот, вместо икса под знак косинуса вставить .

Репетитору по математике важно закрепить этот навык заданиями на комбинацию известных ученику элементарных функции (важно рассмотреть весь спектр).

Стоит отдельно остановиться на алгоритме выполнения действий в выражении f (g (x)). Слабому школьнику репетитор по математике должен предложить прямые задания на вычисления: найти значение функции . В тот момент, когда ученик нашел значения внутренней функции, репетитор по математике останавливает его (чтобы подчеркнуть завершение работы с g (x)) и описывает следующий этап: найденное значение подставляется в f (x). Репетитору важно сопроводить процесс правильными и точными комментариями, например: «нашли значение внутренней функции, находим значение внешней» В особых случаях тетрадный лист делится пополам: слева идут вычисления для g (x), а cправа для f (g (x)). Этой работе нужно уделить, как минимум, 10-15 минут.

На базе задач по созданию сложных функций ученик запоминает форму и состав новых объектов и поэтому их расчленение дается легче. Отмечу, что для среднего и сильного ученика репетитору по математике неплохо было бы предложить задания такого плана:  Составить функцию f (g (f (x))), f (f (x)+g (x)), f (g (x)+g (f (x)) и т.д. Комбинаций можно придумать очень много. Можно по f (g (x)) и g (x) находить f (x) и т.д.

Если ученик ошибается в поиске внешней функции, то репетитору стоит продумать систему наводящих вопросов. Например, при работе с  она может быть такой:

Репетитор: какое действие будет выполняться последним, если в буквенное выражение f (g (x)) вместо иска вставить число?
Ученик: находим сначала его косинус, а потом возводим результат в квадрат. Возведение в квадрат — последнее действие.
Репетитор: какая функция выполняет это действие c каждым иксом?
Ученик: 
Репетитор: вот ты и нашел внешнюю функцию.

Определяя таким образом внешнюю функцию школьнику легко определиться с ее точной записью, поскольку главная особенность (ее действие) уже выявлено.

После того, как навык раскладывания появится, репетитор по математике может перейти к отработке техники вычисления производной.

О вычислении производной сложной функции

Доказательство правила оставим в покое, нас интересует практика решения задач. Репетитор по математике имеет все возможности контролировать каждый шаг ученика и корректировать каждую запись в тетради. Фактически преподаватель управляет движением его руки. Это очень важно, ибо закрепить материал помогает механика движений.

Важно расставить акценты на основных пунктах алгоритма, четко выделяя признаки перехода к ним.

На первом этапе репетитор по математике разводит пункты главным вопросом: «какое последнее действие выполняется при подсчете значения функции?» Или короче: «Какое действие здесь (репетитор указывает на аналитическое выражение) последнее?». Если оно арифметическое, мы используем правила сумы, правило произведения или правило для частного. Если оно функциональное (то есть его выполняет одна из элементарных функций) – применяем . Вопрос нужно задавать регулярно, пока преподаватель не почувствует уверенность в действиях ученики без его помощи.

Если репетитор по математике составил с учеником таблицу производных (я сразу заношу ее в теоретическую тетрадь), то правую колонку этой таблицы можно назвать списком первых множителей f’(g (x)), а левую списком функциональных действий (списком внешних функций).Ученик работает с ней в привычном для себя направлении: слева направо. Находит слева то самое «последнее действие», которое он выявил (внешнюю функцию), затем выписывает ее производную, расположенную справа. Выписал и вставил вместо ее икса внутреннюю функцию. Благо эта операция отработана.

Кроме обязательной математической части, желательно найти какие-нибудь технические опорные подсказки (вспомогательные записи). Они есть и в этой теме. Я советую репетитору договориться с учеником об обозначении двух множителей f’(g (x)) и g’(x) номерами1 и 2. И в формуле и в практических вычислениях подписывать номера под соответствующими множителями.

Особенно важно поставить номер 1. Он ставится после того, как производная внешней функции будет найдена. Так ученику легче сконцентрироваться на объекте f’(g (x)) в большом потоке математических знаков. Репетитору по математике желательно обязать его подписывать эти номера. Почему? Часто про внутреннюю функцию забывают. Находят внешнюю и останавливаются. Привычка ставить цифру 1 вызовет в нужный момент потребность поставить и цифру 2. .

Значительную помощь ученику в работе со сложной функцией репетитор по математике оказывает на базе обобщения работы таблицы производных: если заданная функция отличается от какой-нибудь функции из левой колонки только тем, что вместо икса «что-то вставлено», значит перед нами сложная функция. Вставленное выражение нужно перенести в правую часть и также вставить вместо икса. Получим первый множитель ответа. Подпишем рядом с ним номер 1. Второй множитель выявляется еще проще. Надо представить, что знак внешней функции стерт ластиком. Что мы увидим? Проявится второй множитель, причем вместе с необходимыми для его записи «мелочами»: скобкой и штрихом. Запишем его после первого и поставим ему цифру 2. Следующий этап – нахождение оставшейся производной g”(x). Я не советую сразу записывать значение g’(x). Лучше расписать подробно.

Нумерация особенно помогает ориентироваться в многослойных вложениях типа f (g (h (k (x)))) и при работе с функцией . Производная показательной функции уже состоит из двух множителей  и . После записи учеником второго из них механическая память может дать команду на остановку всего процесса. Номера явятся хорошим отрезвляющим фактором,привычка выделять единицу, а затем и номер 2, как правило, заставляет подумать и оценить содержание записанного.

Отдельные советы репетиторам по математике

1) Репетитору крайне важно убедить ученика после каждой проведенной операции оформлять запись каждого нового объекта на отдельной строке. Не разрывать и не переносить их частично. Если вместо знака g’(x) нужно написать результат вычисления производной или вставить ее формулу – переносим всю функцию на следующую строку. Ответ может быть достаточно громоздким. В плотном частоколе математических знаков очень легко потеряться и если не выделять шаги строчками, то чрезвычайно сложно вернуться к любому из низ. Производная сложной функции, разворачивается с каждым следующим преобразованием. Построчное разделение поможет репетитору по математике уменьшить количество не вынужденных ошибок у ученика.

2)Никогда не выполняйте сразу несколько операций. Что часто делает репетитор? Видит, что ребенок справляется с легкими заданиями и начинает простые операции производить в уме. Так, при нахождении производной  в записи числителе вместо пишут сразу 2. Переключаясь, например, при работе с дробью на мелкие вычисления, школьники теряют ту точку конструкции , с которой перешли на эти вычисления. Разрастающийся характер сложной функций может увести ученика в сторону достаточно далеко и тем самым значительно увеличить риск ошибки. Сначала нужно расставить все штрихи, а затем уже заниматься каждым из них по отдельности. И каждый раз записывать результаты изменений на новой строке. Репетитору математики важно убедить ученика принять этот план за правило.