Очень важную информацию о поведении функции предоставляют промежутки возрастания и убывания. Их нахождение является частью процесса исследования функции и построения графика. К тому же точкам экстремума, в которых происходит смена с возрастания на убывание или с убывания на возрастание, уделяется особое внимание при нахождении наибольшего и наименьшего значения функции на некотором интервале.
В этой статье дадим необходимые определения, сформулируем достаточный признак возрастания и убывания функции на интервале и достаточные условия существования экстремума, применим всю эту теорию к решению примеров и задач.
Рекомендуем при необходимости обращаться к разделу дифференцирование функции, так как все признаки в этой статье основаны на нахождении производной.
Возрастание и убывание функции на интервале.
Определение возрастающей функции.
Функция y=f(x) возрастает на интервале X, если для любых
и
выполняется неравенство
. Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.



Определение убывающей функции.
Функция y=f(x) убывает на интервале X, если для любых
и
выполняется неравенство
. Другими словами – большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.




ЗАМЕЧАНИЕ: если функция определена и непрерывна в концах интервала возрастания или убывания (a;b), то есть при x=a и x=b, то эти точки включаются в промежуток возрастания или убывания. Это не противоречит определениям возрастающей и убывающей функции на промежутке X.
К примеру, из свойств основных элементарных функций мы знаем, что y=sinx определена и непрерывна для всех действительных значений аргумента. Поэтому, из возрастания функции синуса на интервале
мы можем утверждать о возрастании на отрезке
.


Точки экстремума, экстремумы функции.
Точку
называют точкой максимума функции y=f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство
. Значение функции в точке максимума называютмаксимумом функции и обозначают
.



Точку
называют точкой минимума функции y=f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство
. Значение функции в точке минимума называютминимумом функции и обозначают
.



Под окрестностью точки
понимают интервал
, где
- достаточно малое положительное число.



Точки минимума и максимума называют точками экстремума, а значения функции, соответствующие точкам экстремума, называют экстремумами функции.

Не путайте экстремумы функции с наибольшим и наименьшим значением функции.

На первом рисунке наибольшее значение функции на отрезке [a;b] достигается в точке максимума и равно максимуму функции, а на втором рисунке – наибольшее значение функции достигается в точке x=b, которая не является точкой максимума.
Достаточные условия возрастания и убывания функции.
На основании достаточных условий (признаков) возрастания и убывания функции находятся промежутки возрастания и убывания функции.
Вот формулировки признаков возрастания и убывания функции на интервале:
- если производная функции y=f(x) положительна для любого x из интервала X, то функция возрастает на X;
- если производная функции y=f(x) отрицательна для любого x из интервала X, то функция убывает на X.
Таким образом, чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции необходимо:
- найти область определения функции;
- найти производную функции;
- решить неравенства
и
на области определения;
- к полученным промежуткам добавить граничные точки, в которых функция определена и непрерывна.
Рассмотрим пример нахождения промежутков возрастания и убывания функции для разъяснения алгоритма.
Пример.
Найти промежутки возрастания и убывания функции
.

Решение.
Первым шагом является нахождение обрасти определения функции. В нашем примере выражение в знаменателе не должно обращаться в ноль, следовательно,
.

Переходим к нахождению производной функции:


Для определения промежутков возрастания и убывания функции по достаточному признаку решаем неравенства
и
на области определения. Воспользуемся обобщением метода интервалов. Единственным действительным корнем числителя является x = 2, а знаменатель обращается в ноль при x=0. Эти точки разбивают область определения на интервалы, в которых производная функции сохраняет знак. Отметим эти точки на числовой прямой. Плюсами и минусами условно обозначим интервалы, на которых производная положительна или отрицательна. Стрелочки снизу схематично показывают возрастание или убывание функции на соответствующем интервале.




Таким образом,
и
.


В точке x=2 функция определена и непрерывна, поэтому ее следует добавить и к промежутку возрастания и к промежутку убывания. В точке x=0 функция не определена, поэтому эту точку не включаем в искомые интервалы.
Приводим график функции для сопоставления с ним полученных результатов.

Ответ:
функция возрастает при
, убывает на интервале (0;2].

Достаточные условия экстремума функции.
Для нахождения максимумов и минимумов функции можно пользоваться любым из трех признаков экстремума, конечно, если функция удовлетворяет их условиям. Самым распространенным и удобным является первый из них.
Первое достаточное условие экстремума.
Пусть функция y=f(x) дифференцируема в
-окрестности точки
, а в самой точке
непрерывна.



Тогда
- если
при
и
при
, то
- точка максимума;
- если
при
и
при
, то
- точка минимума.
Другими словами:
- если в точке
функция непрерывна и в ней производная меняет знак с плюса на минус, то
- точка максимума;
- если в точке
функция непрерывна и в ней производная меняет знак с минуса на плюс, то
- точка минимума.
Алгоритм нахождения точек экстремума по первому признаку экстремума функции.
- Находим область определения функции.
- Находим производную функции на области определения.
- Определяем нули числителя, нули знаменателя производной и точки области определения, в которых производная не существует (все перечисленные точки называют точками возможного экстремума, проходя через эти точки, производная как раз может изменять свой знак).
- Эти точки разбивают область определения функции на промежутки, в которых производная сохраняет знак. Определяем знаки производной на каждом из интервалов (например, вычисляя значение производной функции в любой точке отдельно взятого интервала).
- Выбираем точки, в которых функция непрерывна и, проходя через которые, производная меняет знак - они и являются точками экстремума.
Слишком много слов, рассмотрим лучше несколько примеров нахождения точек экстремума и экстремумов функции с помощью первого достаточного условия экстремума функции.
Пример.
Найти экстремумы функции
.

Решение.
Областью определения функции является все множество действительных чисел, кромеx=2.
Находим производную:


Нулями числителя являются точки x=-1 и x=5, знаменатель обращается в ноль при x=2. Отмечаем эти точки на числовой оси


Определяем знаки производной на каждом интервале, для этого вычислим значение производной в любой из точек каждого интервала, например, в точках x=-2, x=0, x=3 иx=6.



Поэтому над вторым интервалом ставим минус, над третьим – минус, над четвертым – плюс.
Осталось выбрать точки, в которых функция непрерывна и ее производная меняет знак. Это и есть точки экстремума.
В точке x=-1 функция непрерывна и производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, по первому признаку экстремума, x=-1 – точка максимума, ей соответствуем максимум функции
.

В точке x=5 функция непрерывна и производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, x=-1 – точка минимума, ей соответствуем минимум функции
.

Графическая иллюстрация.

Ответ:

ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ: первый достаточный признак экстремума не требует дифференцируемости функции в самой точке
.

Пример.
Найдите точки экстремума и экстремумы функции
.

Решение.
Областью определения функции является все множество действительных чисел. Саму функцию можно записать в виде:


Найдем производную функции:


В точке x=0 производная не существует, так как значения односторонних пределов при стремлении аргумента к нулю не совпадают:


В это же время, исходная функция является непрерывной в точке x=0 (смотрите разделисследование функции на непрерывность):


Найдем значения аргумента, при котором производная обращается в ноль:


Отметим все полученные точки на числовой прямой и определим знак производной на каждом из интервалов. Для этого вычислим значения производной в произвольных точках каждого интервала, к примеру, при x=-6, x=-4, x=-1, x=1, x=4, x=6.


То есть,


Таким образом, по первому признаку экстремума, точками минимума являются
, точками максимума являются
.


Вычисляем соответствующие минимумы функции


Вычисляем соответствующие максимумы функции


Графическая иллюстрация.

Ответ:

Второй признак экстремума функции.
Пусть
,

- если
, то
- точка минимума;
- если
, то
- точка максимума.
Как видите, этот признак экстремума функции требует существования производной как минимум до второго порядка в точке
.

Пример.
Найти экстремумы функции
.

Решение.
Начнем с области определения:


Продифференцируем исходную функцию:


Производная обращается в ноль при x=1, то есть, это точка возможного экстремума.
Находим вторую производную функции и вычисляем ее значение при x = 1:


Следовательно, по второму достаточному условию экстремума, x=1 - точка максимума. Тогда
- максимум функции.

Графическая иллюстрация.

Ответ:

Третье достаточное условие экстремума функции.
Пусть функция y=f(x) имеет производные до n-ого порядка в
-окрестности точки
и производные до n+1-ого порядка в самой точке
. Пусть
и
.





Тогда,
- если n – четное, то
- точка перегиба;
- если n – нечетное, то
- точка экстремума, причем
- если
, то
- точка минимума;
- если
, то
- точка максимума.
- если
Пример.
Найти точки экстремума функции
.

Решение.
Исходная функция является целой рациональной, ее областью определения является все множество действительных чисел.
Продифференцируем функцию:


Производная обращается в ноль при
, следовательно, это точки возможного экстремума. Воспользуемся третьим достаточным условием экстремума.

Находим вторую производную и вычисляем ее значение в точках возможного экстремума (промежуточные вычисления опустим):


Следовательно,
- точка максимума (для третьего достаточного признака экстремума имеем n=1 и
).


Для выяснения характера точек
находим третью производную и вычисляем ее значение в этих точках:



Следовательно,
- точка перегиба функции (n=2 и
).


Осталось разобраться с точкой
. Находим четвертую производную и вычисляем ее значение в этой точке:



Следовательно,
- точка минимума функции.

Графическая иллюстрация.

Ответ:


Комментариев нет:
Отправить комментарий