Дидактические разработки репетитора к уроку на касающиеся окружности. Комплект тренировочных упражнений для 9-11 класса. Репетитор по математике может задействовать его для повторения курса планиметрии при подготовке к ЕГЭ и ГИА.

Задача репетитора по математике на углы в 37 и 83 градусов

1) Углы при вершинах P и K треугольника PKC равны соответственно $37^\circ$ и $83^{\circ}$ . Точка O – центр окружности, вписанной в треугольник. Найдите отношение радиусов окружностей, описанных около треугольников PKC и PKO.
Ответ: $1:1$

Задача репетитора по математике на параллелограмм и окружности

2) Две окружности радиуса 2 см касаются друг друга и каждая из них касается трех сторон параллелограмма. Меньшая сторона параллелограмма равна 5 см. Найдите площадь параллелограмма.Ответ: $36$ кв.см.

3) Две окружности с радиусами 10 см и 40 см касаются внешним образом. Найдите площадь треугольника, у которого одна вершина находится в центре меньшей окружности, а две другие – в точках касания большей с общими внешними касательными, проведенными к данным окружностям.
Ответ: $832$ кв.см.

4) Окружности радиусов 5 см и 10 см касаются внешним образом в точке К. Через точку К проведена прямая, пересекающая меньшую окружность в точке А, а большую в точке С. Прямая, проходящая через центры этих окружностей, пересекает меньшую окружность в точке В. Найдите площадь треугольника АВС, если KС=8см.
Ответ: $12 \sqrt{21}$

5) Окружность с центрами $O_1$ и $O_2$ касаются внешним образом в точке С. Прямая касается этих окружностей в различных точках А и В соответственно. Найдите угол $AO_2B$ , если $tg \angle ABC=\dfrac{1}{2}$
Ответ: $45^\circ$

6) Окружность, вписанная в треугольник ABC ( $AB< AC < BC$ ) делит медиану BM на 3 равные части. Найдите отношение АС:AB
Ответ: $2$

7) Две окружности радиуса 3 см касается двух друга внешним образом и каждая из них касается внешним образом третьей окружности с радиусом 1 см. Найдите площадь треугольника, вершинами которого являются точки касания всех этих окружностей.Ответ: $\dfrac{240 \pi}{49}$

8) Две окружности с радиусами 3 и 9 касаются внешним образом в точке А. Общая касательная, проведенная в точке А, пересекается с другой их общей касательной в точке В. Найдите расстояние от центра большей окружности до точки B.
Ответ: $6$

9) Две окружности с радиусами 2 и 7 касаются внутренним образом в точке N. Через центр большей окружности проведена касательная к меньшей окружности, которая пересекается в точке P с общей касательной к обеим окружностям, проходящей через точку N. Найдите расстояние от центра большей окружности до точки P.Oтвет: $\dfrac{5}{3}\sqrt{21}$

10) В прямой угол вписаны две окружности, касающиеся друг друга. Радиус большей окружности равен 6 см. Найдите радиус меньшей.Ответ: $18 - 12\sqrt{2}$