Раскрытие модуля.

Модули — трудная тема для учеников. Приступая к работе с ней репетитор по математике должен понимать, что основные сложности учащиеся испытывают не при вычислении модуля, а при проведения алгебраических преобразований с ним. Причины всех трудностей — недостаточное внимание к данной теме со стороны школьных программ и невозможность в большинстве случаяв работать с «этими палочками» напрямую, за одну операцию, без разветвления применяемых алгоритмов. Знак модуля — это всего лишь оболочка, условное обозначения этого разветвления.

Практика показывает, что большинство приходящих к репетитору учеников имеют крайне низкий уровень владения приемами раскрытия модуля, если под его знаком стоит переменная. В этом случае, репетитор по математике оказывается главным участником сражений за понимание, поскольку в школе толком ничего не объясняется, а самостоятельно разобраться в дебрях разветвлений дети часто не в состоянии.

Далеко не в каждом случае репетитор по математике способен научить ученика работать с модулем. Для этого необходмы не только способности репетитора давать точные комментарии к используемым алгоритмам, но и способности ребенка самостоятельно создавать, контролировать и обрабатывать несколько числовых потоков одновременно. Причем этот контроль имеет многоэтапный и даже виртуальный характер, без участия в нем самих чисел. Сложная задача для ученика.

Составление алгоритмов работы с модулем можно сравнить с запуском автоматизированной линии по выпуску рыбных консервов определенного вида без участия на всех этапах производства самого человека. Фантастика, но попробуем себе это предствить. Надо расставить определенные виды сетей и для каждой из них, в независимости от того, что в нее попадает, запланировать какой то способ дальнейшей сортировки и переработки пойманного. Тоже сложная задача. Учитывая тот факт, что не каждый ученик сможет правильно проанализировать влияние специфики уравнения (конечного продукта) для поиска таких алгоритмов, — задача вдвойне усложняется.

Спасаться учебниками не получается. Во всех книжках, которые попадались мне на глаза, объяснения велись сразу через записи систем, равносильных исходному уравнению.

Нельзя объяснять ребенку методы решений уравнений с модулем через равносильные системы.

Проблема заключается в том, что их появление — есть продукт мыслительной деятельности знающего человека и предназначены они для ПРОВЕРКИ РЕШЕНИЯ знающим человеком, но никак не для того, чтобы учить с их помощью ПОНИМАТЬ происходящее. Ими демонстрируется только «вершина айсберга», большая часть которого, связанная с «демонстрацией передвижения чисел», скрыта. Ее нельзя как-либо полностью показать что-то записывая, как нельзя, например заменить всю информацию на видео несколькими фотографиями. Донести до ученика суть можно только на словах. Это и должен сделать репетитор по математике.

В этой статье я хочу поделиться с вами собственной методикой объяснения основного способа снятия модуля : разбора случаев по подмодульному выражению. Для Начала посмотрим как решается базовое (линейное) уравнение с модулем в любом более-менее серьезном пособии по подготовке к экзамену в 11 классе.

Решить уравнение:
| x — 3 | = 2x+1

От учебника к учебнику пояснения будут в целом близки по духу, но несколько отличаться друг от друга комментариями. Вот некоторые из них:
1) Уравнение равносильно совокупности систем

Далее, как правило, в том же виде (параллельно) демонстрируется решение каждой системы и записывается ответ. И все!!!!! Среднему и даже сильному ученику, порой, трудно в этом разобраться. Слабый ученик не поймет ровным счетом ничего. А у более толкового возникнет масса вопросов: почему именно так решается исходное уравнение? Почему надо включать в записи еще какие-то неравенства? Все ли уравнения с модулем можно решить этим способом?А если модулей несколько?. Некоторые учителя, не усложняя себе жизнь поиском подходящих разъяснений, пользуются этой схемой и считают, что она сама обо всем рассказывает и тратить лишнее время — только запутывать ученика. Но практика показывает, что большинство детей не способны на самостоятельный анализ участия в решении даже таких простых неравенств

2) Вторая разновидность демонстрации решения: рассмотрим случаи (уже не понятно, что значит «рассмотрим», зачем и что такое вообще «случаи» :
1) х — 3 ≥ 0
Тогда уравнение приводится к виду х-3=2х+1. Находим его корень х= −4. Он не удовлетворяет неравенству х — 3 ≥ 0
2) х — 3 < 0 Тогда решим уравнение —х+3= 2х+1. Его корень 2/3 очевидно удовлетворяет условию х — 3 < 0.
В итоге получаем ответ х=2/3.

Конечно, при таком подходе появляются попытки внести ясность, но все равно возникают вполне естественные вопросы :
1) как связаны два решаемых уравнения с первоначальным?
2) Почему надо делать еще какую то проверку?

Ни тот ни другой метод «разъяснений» не отражает главного — специфики объекта и особенности выполнения действий с ним. Все что показывают книжки — это всего лишь краткое оформление промежуточных и необходимых для получения ответа выкладок.

Предлагаю вам свой уникальный текст, разъясняющий ученику смысл фраз «рассмотрим случаи», «уравнение приводится к виду ...» , «равносильно совокупности систем...».

Лучше всего подавать идею решения в виде следующего рассказа (более или менее подробного в зависимости от типа ученика).

Итак, надо решить уравнение |x — 3| = 2x+1, то есть найти все числа, которые при подстановке вместо буквы х превращают это уравнение в верное числовое равенство. (ученик, конечно, должен понимать, что такое корень уравнения и как его проверить). Мы не знаем этих чисел, но в любом случае они находятся где-то на числовой прямой.

Будем искать их также, как какие-нибудь нужные вещи в двухкомнатной квартире. Зайдем сначала в одную комнату и поищем в ней, затем в другую, а затем, соберем все, что найдено, в общий мешок для демонстрации результата поиска. Тоже самое сделаем с уравнением. Разрежем числовую ось на две части (аналоги комнат) разделительной точкой х=3 (почему бедется именно она — станет понятно позже).

Сначала поищем корни уравнения среди чисел, больших (или равных) чем 3. Если бы их все можно было бы проверить перебором, мы бы так и сделали. Сложность в том, что чисел бесконечное количество. Если мы начнем этот бесконечный процесс (представим себе такое) или захотим протестировать какое-нибудь конкретное число из этой комнаты на предмет попадания в ответ, то подставляя числа в исходное уравнение, внутри модуля, каждый раз будем получать неотрицательное число (это любой 11-ти классник поймет). В этом случае на знак модуля не окажет никакого влияния на вычисление результата всех действий в левой части, т.к. модуль неотрицательного числа равен самому числу под его знаком. А раз так, то в выражении |x-3| будет получаться тот же самый результат, что и в выражении х—3. Поэтому нам НЕ ВАЖНО В КАКОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ПРОВЕРКИ ВСТАВЛЯТЬ ЧИСЛА ИЗ ВЫБРАННОЙ КОМНАТЫ. Можно в |x—3| = 2x+1, а можно в x — 3 = 2x+1 (так как в их левых частях получаются равные результаты). Если одно равенство окажется верным, то и другое тоже.

Поэтому, для вылавливания чисел из промежутка х>3 я могу заменить проверку |x — 3| = 2x+1 на проверку равенства x — 3 = 2x+1. Если оно окажется верным — тестируемое число попадет в ответ. Чисел, которые обеспечивают выполнение этого условия не так много, более того оно одно и его можно найти просто решив линейное уравнение. Но оно может не находится в рассматриваемой части оси (в 1-ой комнате), поэтому этот корень еще требуется проверить на принадлежность к промежутку от 3 до +∞.

Именно поэтому тестируемое число должно отвечать двум требованиям х>3 и x — 3 = 2x+1, а значит должно быть решением следующей системы:

Ее ответ покажет, какие числа первой комнаты являются корнями исходного уравнения.
Аналогично можно объяснить как найти корни во второй комнате, то есть на промежутке (- ∞;3). Если тестировать любое число из этого промежутка, и вставлять его в исходное уравнение (представим себе этот бесконечный процесс), то под модулем будет каждый раз получаться отрицательное число, а в этом случае в выражении |x — 3| будет получаться тот же самый результат, что и в выражении —(х — 3), (этот факт лучше объяснить отдельно до темы уравнения с модулем). Поэтому для принятия решения о включении тестируемого числа в ответ не важно где его проверять: подставляя в |x — 3| = 2x+1 или в уравнение —(x — 3) = 2x+1 (раз в левых частях получается один и тот же результат). И опять, вместо того, чтобы проверять пербором все числа расположенные левее x=3, я могу просто решить это уравнение —(x — 3) = 2x+1. В его ответ «заползут» все числа обеспечивающее его верность. Среди них надо взять только те, которые левее 3, то есть проверить условие х<3). Итак, для попадания числа из второй комнаты в ответ нужно, чтобы оно отвечало двум требованиям
x<3 и —(x — 3) = 2x+1
То есть являлось бы решением системы:

Решив обе полученные системы и собрав вместе все найденные числа мы получим ответ уравнения |x — 3| = 2x+1.

Репетитор по математике должен тщательно следить не только за порядком слов, которые он использует, но и за темпом изложения. Нельзя спешить и слишком много говорить.

Через урок, после объяснения метода построения графика с модулем репетитору полезно вернуться к разобранному уравнению и решить его же графически.

Аналогично объясняется метод решения неравенств с модулем. Фраза «проверка равенства» заменяется на фразу «проверка верности неравенства».

Если репетитор по математике смог разъяснить ученику, что линия, заданная на плоскости уравнением есть не что иное как его ответ в графической форме и отбирать для ответа уже нужно точки плоскости (вместо точек оси), то те же самые рассуждения годятся и для построения графика функции с модулем. Повторяя почти тот же самый текст с заменой слова «число» на «пару чисел» или на «точку плоскости» репетитор по математике сможет убить двух зайцев: и новое изучить и старое закрепить. Привожу этот текст в слегка сокращенном виде:

построить график функции у=|х-1|+2х

Разделим плоскость на две части, так чтобы в первую часть попали точки у которых х≥1, а у другой х<1. Репетитору по математике лучше нарисовать эти две «комнаты».Найдем кто из точек правой части плоскости удовлетворяет равенству. Если представить себе, что каждая точка будет вставляться в равенство у=|х-1|+2х для проверки, то в его правой части получится тот же самый результат, как и в выражении х-1+2х, а поэтому нам не важно куда вставлять точку для определения ее пригодности. Можно в у=|х-1|+2х, а можно в у=х-1+2х.Найдем все точки, которые удовлетворяют равенству у=х-1+2х (это график функции линейной функции у=х-1+2х) и возьмем из него только те точки, у которых х≥1. Найденное множество будет удовлетворять сразу двум условием у=х-1+2х и х≥1,а значит являться решением их системы. Так ее и запишем:

Она указывает на построенную часть финального графика. Аналогично дается пояснение для построения левой части, а затем объединяем построенные линии и получаем:

Как видите, репетитор по математике может предложить практически тот самый текст ученику, что и при решениии уравнений с одной перменной. Закрепление материала будет лишь вопросом времени при самостоятельной работе. Особое чутье репетитора здесь проявляется в способности понять когда можно с учеником переходить к последовательному чередованию объектов (уравнений, неравенств, графиков).

Модное на сегодняшний день слово «кастинг» как нельзя лучше подходит для описания работы алгоритмов решения уравнений с мордулями. Большинство подростком с ним знакомы и понимают его сымсл. Как красиво зазвучит: «кастинг чисел» «кастинг точек плоскости».

Уяснив метод разбора случаев на простых линейных подмодульных выражениях, ученик может быть отправлен репетитором по математике в гости к нелинейным. В такой последовательности легче понять, что делать, если под модулем, например, стоит дробь или косинус. Стоит обратить внимание на то, что в первой строке систем вписывается неравенство, указывающее своим ответом на рассматриваемое множество. Именно этот ответ и есть первая комната. Записывая неравенство мы выделяем эту комнату. Поскольку ответ неравенств часто состоит их кусочков оси, то комната просто будет рваной, но принцип отбора (кастинга) ее чисел остается прежним. Все равно надо решать систему, просто вместо готового для изображения ответа х≥3 придется включать в первую строку системы неравенство «подмодульное выражение больше(меньше) либо равно нуля», решать его, а затем пересекать полученный ответ с ответом второй строчки системы.

Итак, с одним модулем разобрались. Что репетитор по математике предложит еще? Если по его ощущениям у ученика еще остался потенциал — можно перейти к уравнениям с двумя линейными модулям, например |x-3|+|2x+1|-4=0. Важно, чтобы на этом этапе ученик понимал как выбирается разделительная точка для каждого модуля. Можно назвать ее переломной.

Удобнее всего ось разделить двумя точками «обнуляющими» подмодульные выражения на 3 области и для отбора чисел из каждого множества заменить проверку исходного неравенства на проверку неравенства без модулей. Тремя системами получаем ответ.

Опытный репетитор по математике всегда знает, что наиболее вероятной ошибкой является потеря контроля за раскрытием модуля если он «обложен» со всех сторон действиями. Для уменьшения ошибок важно предложить какое-то единое опорное правило. Я всегда говорю так. В случае, когда под модулем получается «минус» модуль надо поменять на скобку, а перед скобкой поменять знак. Это очень удобно для запоминания, так как в голове ученика в этот момент сидит директива «что-то поменять». Легко запомнить, что если хочется «что-то поменять», то надо поменять все что только можно (слева от подмодульного выражения).

В заключение отмечу, что репетитор по математике может показать сильному ученику и другие способы раскрытия модуля. После изучения темы «возведение неравенств и уравнений в квадрат» легко объясняется, почему возведение в квадрат неравенства, обе части которого заключены под знак модуля не приводит ни к потере корней, ни к приобретению лишних корней. Репетитору желательно донести до сознания ученика тот факт,, что после возведения никаких проверок или дополнительных условий подмешивать к объекту не нужно, модули можно поменять на скобки, перенести все слагаемые в левую часть и разложить ее на множители. И ничего не надо возводить в степень... Сильному ученику можно показать расширенный метод интервалов для дробей с модулями, в котором, их раскрытие ведется по числителю и знаменателю независимо. !!!!!!

После раскрытия находят распределение знаков через графики (или через пробные точки в каждом промежутке) и уже по ним «читают» итоговые знаки всей дроби.

Стоит упомянуть, что репетитор по математике всегда выбирает глубину изложения темы в зависимости от ученика и разбирает с ним способы решения только до определенного уровня. К заданиям несколько более высокого уровня сложности обычно относят те, в которых или присутствует большое количество модулей, параметр, или модуль стоит поверх тригонометрической функции, или модули появляются при удалении квадратного корня вместе с полным квадратом какого-нибудь выражения, расположенным под его знаком.

К нестандартным я бы отнес функциональные приемы :

• использование области значений функции у=│f (х)|
• расширенный метод интервалов, применяемый к функциям с модулями.

Вопрос ученика : какие знания нужны для понимания темы «раскрытие модуля»?
Ответ репетитора по математике. Это зависит от уровня решаемых с модулем задач.  Для того, чтобы блегчить репетитору работу над объяснениям темы, желательно уметь:

• изображать и записывать числовые промежутки на координатной оси.
• уметь быстро выполнять отдельные базовые алгоритмы решения линейных, квадратных и возможно даже дробных уравнений и неравенств.
• решать системы уравнений и неравенств с одной переменной.
• пересекать и объединять их ответы
• владеть свойствами графиков элементарных функций (для построения графиков с модулями).

Темы: Методики для репетиторов, Примеры объяснений, Раскрытие модуля, Решение уравнений

http://www.ankolpakov.ru/2010/09/14/udobnye-sluchai-prostejshix-trigonometricheskix-uravnenij-vida-sinxa/