Приемы объяснений репетитора по математике. Метод аналогий.

Законы логики следования, а особенно обратного следования – традиционно сложная для детей тема. Если верно A--> B, то будет ли верно B--> A? Что такое достаточное и необходимое условие? Каждый второй школьник теряется при ответах на эти вопросы. Учителя не всегда понятно объясняют и обычно школьника спасает репетитор по математике.

Несмотря на использование школой логических законов, отдельными темами они не представлены. Отсюда целый букет проблем. Особенно много вопросов репетитору задают старшеклассники, изучающие тему «исследование функций». В методах поиска экстремумов «плавает» половина абитуриентов.

Напомню теоремы:

Необходимое условие наличия экстремума:
Если -точка экстремума, то значение производной в точке  равно нулю. Обратно неверно.

Достаточное условие экстремума:
Если  – внутренняя точка области определения функции, которая меняет монотонность при переходе через , то  – точка экстремума (минимум или максимум).

Репетитор по математике сталкивается с проблемой понимания этих теорем регулярно. Дети путают их названия и обычно плохо улавливают разницу между условиями. И вообще слово «условие» вводит их в некотором смысле в легкое коматозное состояние.
Если попытаться разобраться в источнике этих проблем, то придется обратиться к геометрии. Почему? Понять разницу между прямой и обратной теоремой школьники должны в 7 классе, когда изучается равнобедренный треугольник. Его главный признак и обратное к нему свойство репетитор по математике доказывает отдельно и тем самым учит ребенка «думать в обе стороны».
После смежных и вертикальных углов, на которых легко показать ошибка перестановки условия и заключения теорем, ни одна из теорем не представляет опасности в ее использовании «задом на перед». Поэтому, даже если репетиру по математике удается добиться понимания в 7 классе, то к девятому школьник, как правило, забывает об этих логических капканах. Темы в 9 классе, в основном, наполнены формулами, а не логикой, поэтому старшеклассникам (особенно слабым) кране важно получить помощь со стороны репетитора.

Что может предпринять репетитор по математике, если его подопечный «плавает в логике»? Как быстро и понятно донести разницу между A-->B и B-->A ? На помощь приходит метод ассоциаций (его еще называют методом аналогий).
В чем он состоит? Математика является своего рода моделью реального мира в голове человека. Поэтому многие математические законы и процессы имеют сходство с окружающими нас явлениями и объектами. Репетитору просто нужно научиться включать их в процессы объяснений и знать наиболее яркие примеры их использования. Надо найти простой пример из жизни, повторяющей ту же самую логику, что использует изучаемое понятие, теорема или алгоритм.

Репетитор по математике в работе с методом аналогий

Показать разницу между необходимым и достаточным условием существования экстремума репетитору математики помогает очень простая, но эффективно работающая аналогия с принадлежностью одного и того же объекта сразу нескольким группам. Допустим, нам стало известно, что в магазин привезли селедку. Можем ли мы купить в нем рыбу? Конечно, ибо селедка является рыбой. А теперь представьте, что в магазин привезли какую-то рыбу. Обязательно ли купим в нем селедку? Даже слабый ученик поймет разницу и даст репетитору математики отрицательный ответ. Конечно, не каждая рыба – селедка. Но для того, чтобы купить селедку необходимо завести в магазин рыбу. Необходимо, но не достаточно. Именно в этот момент репетитор по математике возвращается к функциям и говорит ученику: «Теорема об экстремуме похожа как две капли воды на то, что мы подметили в примере с рыбой».

Пример объяснения репетитора по математике

Если стало известно, что  – точка экстремума, то можем ли мы на 100% быть уверенны, что  – критическая точка? Да, потому что есть такая теорема. А наоборот? Если станет известно, что , то можем ли мы с уверенностью сказать, что  – точка экстремума? Как и в ситуации с селедкой — не можем. Надо пойти в магазин и посмотреть, какая именно рыба туда завезена. Тот же принцип работает и с критической точкой: нужно выяснять, какая именно точка пред нами. Однако, в магазин завозят не рыбу, то нет смысла заниматься какими-либо дополнительными исследованиями. Иначе мы будем искать нашу селедку, например, в булочной.

Что нам делать, если требуется скупить всю селедку в Москве? Любой ученик скажет репетитору по математике: «Сначала надо узнать адреса рыбных магазинов, а затем пройти по всем прилавкам и посмотреть, какая рыба там лежит». Репетитор тут же указывает на уравнение  и говорит: «решая его, мы выловим всю рыбу, а затем определим какая из них селедка с помощью знаков производной, то есть найдем экстремумы. Нам необходимо сначала «выловить» всю рыбу в магазинах и поэтому условие ее завоза назовем необходимым. Такой же смысл имеет понятие «необходимое условие экстремума», оно такое : . Для того, чтобы мы ничего не перепутали и купили то, что нужно, требуется должны убедиться, что перед нами рыба и эта рыба селедка. Это достаточное условие. Для экстремумов оно состоит в проверке наличия разных знаков производной вокруг точки с нулевой производной.

Данный пример не только помогает репетитору по математике донести до ученика логику материала, но еще и заметно оживляет занятие. Практика моего общения с учениками показывает, что дети активнее включаются в тему, если при ее обсуждении рассматривается знакомая им жизненная ситуация.

Есть альтернативный путь. Обычно по нему идут ВУЗовские преподаватели. Конечно, он более сложный, но для работы с сильным школьником репетитор по математике вполне может им тоже воспользоваться? Для этого потребуются диаграммы (кружочки) из теории множеств. Условно буквой А обозначаем множество всех функций, у которых значение производной в точке равно нулю, а буквой В – множество функций, у которых  – точка экстремума. Если доказано A-->B, то это означает, что любая функция из А лежит в B. Репетитор спрашивает: как нарисовать кружочки, чтобы все внутренние точки А лежали в В? Понятно, что А должно быть внутри В. Тогда возможен рисунок, при котором есть точки В, не лежащие в А. Поэтому B-->A неверно. И даже здесь репетитором по математике может быть предложена жизненная аналогия: Для того, чтобы проехать в государство А, необходимо пересечь границу государства В. Необходимо, но не достаточно. Красиво? Интересно? Безусловно!!!

К сожалению, вопросы логики в школе отдельно не изучаются (за исключением несвоевременных попыток учебника Петерсона это сделать в 5-6 классе). Поэтому когда наступает период подготовки к ЕГЭ по математике в 11 классе, забот у репетитора заметно прибавляется. Приведенные примеры объяснений, конечно, требуют времени для обсуждения и запоминания, но зато в памяти остаются надолго.