Непрерывность функции в точке, разрывы первого и второго рода.

Исследование функции на непрерывность связано с нахождением односторонних пределов функции. Так что рекомендуем ознакомиться с разделом Предел функции, основные определения и понятия, прежде чем двигаться дальше.

Определение непрерывности функции в точке.

Функция f(x) называется непрерывной в точке , если предел слева равен пределу справа и совпадает со значением функции в точке , то есть .

Следствие.

ЗНАЧЕНИЕ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ В ТОЧКАХ НЕПРЕРЫВНОСТИ СОВПАДАЕТ СО ЗНАЧЕНИЕМ ФУНКЦИИ В ЭТИХ ТОЧКАХ.

Пример.

Доказать непрерывность функции  в точке .

Решение.

Во-первых, покажем существование предела слева. Для этого возьмем последовательность аргументов , сходящуюся к , причем . Примером такой последовательности может являться

Соответствующая последовательность значений функции будет иметь вид

На рисунке соответствующие значения показаны зелеными точками.

Легко видеть, что эта последовательность сходится к -2, поэтому .

Во-вторых, покажем существование предела справа. Для этого возьмем последовательность аргументов , сходящуюся к , причем . Примером такой последовательности может являться

Соответствующая последовательность значений функции будет иметь вид

На рисунке соответствующие значения показаны синими точками.

Легко видеть, что эта последовательность также сходится к -2, поэтому .

Этим мы показали, что пределы слева и справа равны, следовательно, существует предел функции  в точке , причем 

Вычислив значение функции в точке  можно говорить о выполнении равенства , это доказывает непрерывность исходной функции в точке.

Графическая иллюстрация.

Определение устранимого разрыва первого рода.

В точке  функция имеет устранимый разрыв первого рода, если предел слева равен пределу справа, но они не равны значению функции в точке ,то есть .

Пример.

Найти точки разрыва функции и определить их тип .

Решение.

Найдем область определения функции:

Точкой разрыва нашей функции может быть только граничная точка области определения, то есть . Проверим функцию на непрерывность в этой точке.

На области определения выражение  можно упростить:

Находим пределы слева и справа. Так как функция  непрерывна при любом действительном х, то

Следовательно, пределы слева и справа равны, а сама функция  в точке  не определена, поэтому, в точке  функция имеет устранимый разрыв первого рода.

Определение неустранимого разрыва первого рода (точка скачка функции).

В точке  функция имеет неустранимый разрыв первого рода, если пределы слева и справа НЕ равны, то есть . Точку  в этом случае называют точкой скачка функции.

Пример.

Исследовать кусочно-непрерывную функцию  на непрерывность, определить вид точек разрыва, сделать чертеж.

Решение.

Разрывы могут быть лишь в точках  или .

Найдем пределы слева и справа от этих точек, а также значения исходной функции в этих точках.

Слева от точки  наша функция есть  и в силу непрерывности линейной функции .

В самой точке  наша функция есть , поэтому .

На промежутке  наша функция есть  и в силу непрерывности квадратичной функции

В точке  наша функция есть , поэтому .

Справа от  наша функция есть  и в силу непрерывности линейной функции

В итоге имеем:

•  следовательно, в точке  исходная кусочная функция непрерывна,
• , то есть , следовательно, в точке  неустранимый разрыв первого рода (скачок).

Графическая иллюстрация.

Определение разрыва второго рода (бесконечный разрыв).

В точке  функция имеет разрыв второго рода, если либо предел слева , либо предел справа , не существует или бесконечен.

Пример.

Исследовать функцию  на непрерывность, определить вид точек разрыва, сделать чертеж.

Решение.

Областю определения функции является интервал .

Найдем пределы функции слева и справа от точки .

Рассмотрим произвольную последовательность значений аргумента, сходящуюся к  слева. Например,  и соответствующую ей последовательность значений функции

Легко показать, что эта последовательность бесконечно большая отрицательная, поэтому, .

Рассмотрим произвольную последовательность значений аргумента, сходящуюся к  справа. Например,  и соответствующую ей последовательность значений функции

Легко показать, что эта последовательность бесконечно большая положительная, поэтому, .

Следовательно, в точке  функция имеет разрыв второго рода.

Графическая иллюстрация.

Рекомендуем ознакомиться с разделом Пределы, основные определения, примеры нахождения, задачи и подробные решения.