1) Квадратный корень, функция $y=\sqrt{x}$

Свойства:
1) Область определения:

$D_{\text{f}}$ = [ $0 ; + \infty$ )
2) Область значений:

$E_{\text{f}}$ = [ $0 ; + \infty$ )
3) Промежуток возрастания:

[ $0 ; + \infty$ )
4) Промежутки убывания: нет
5) Нули функции: $x=0$
6) Промежутки знакопостоянства:
y>0 если $x \in$ ( $0 ; + \infty$ )
y<0, нет таких Х

2) Показательная функция $y=a^x$ , где a > 1
Свойства:
1) Область определения:

$D_{\text{f}}$ = ( $- \infty; + \infty$ )
2) Область значений:

$E_{\text{f}}$ = ( $0 ; + \infty$ )
3) Промежуток возрастания:

( $- \infty ; + \infty$ )
4) Промежутки убывания: нет
5) Нули функции: нет
6) Промежутки знакопостоянства:
y>0 если $x \in$ ( $- \infty; + \infty$ )
y<0, нет таких Х

3) Показательная функция $y=a^x$ , где a < 1
Свойства:
1) Область определения:

$D_{\text{f}}$ = ( $- \infty; + \infty$ )
2) Область значений:

$E_{\text{f}}$ = ( $0 ; + \infty$ )
3) Промежутки возрастания: нет
4) Промежуток убывания:

( $- \infty ; + \infty$ )
5) Нули функции: нет
6) Промежутки знакопостоянства:
y>0 если $x \in$ ( $- \infty; + \infty$ )
y<0, нет таких Х

4) Логарифмическая функция $y=Log _{a} x$ , a > 1
Свойства:
1) Область определения:

$D_{\text{f}}$ = ( $0 ; + \infty$ )
2) Область значений:

$E_{\text{f}}$ = ( $- \infty; + \infty$ )
3) Промежуток возрастания: ( $0 ; + \infty$ )
4) Промежуток убывания: нет
5) Нули функции: x=1
6) Промежутки знакопостоянства:
y>0 если $x \in$ ( $1; + \infty$ )
y<0 если $x \in$ ( $0;1$ )

5) Логарифмическая функция $y=Log _{a} x$ , a < 1
Свойства:
1) Область определения:
$D_{\text{f}}$ = ( $0 ; + \infty$ )
2) Область значений:

$D_{\text{f}}$ =( $- \infty; + \infty$ )
3) Промежуток возрастания: нет
4) Промежуток убывания:( $0 ; + \infty$ )
5) Нули функции: x=1
6) Промежутки знакопостоянства:
y>0 если $x \in$ ( $0;1$ )
y<0 если $x \in$ ( $1; + \infty$ )

6) Тригонометрическая функция $y=SinX$
Свойства:
1) Область определения:

$D_{\text{f}}$ =( $- \infty; + \infty$ )
2) Область значений:

$E_{\text{f}}$ =[ $-1 ; 1$ ]

3) Промежутки возрастания: [ $- \frac{\pi}{2}+2\pi n ; \frac{\pi}{2}+2\pi n$ ], где $n \in N$
4) Промежутки убывания: [ $\frac{\pi}{2}+2\pi n ; \frac{3\pi}{2}+2\pi n$ ], где $n \in N$
5) Нули функции: $x=\pi n$ , где $n \in N$
6) Промежутки знакопостоянства:
y>0 если $x \in$ [ $2\pi n ; \pi+2\pi n$ ], где $n \in N$
y<0 если $x \in$ [ $-\pi+2\pi n ;2\pi n$ ], где $n \in N$

7) Тригонометрическая функция $y=CosX$
Свойства:
1) Область определения:

$D_{\text{f}}$ =( $- \infty; + \infty$ )
2) Область значений:

$E_{\text{f}}$ =[ $-1 ; 1$ ]

3) Промежутки возрастания: [ $- \pi +2\pi n ; 2\pi n$ ], где $n \in N$
4) Промежутки убывания: [ $2\pi n ; \pi+2\pi n$ ], где $n \in N$
5) Нули функции: $x=\frac{\pi}{2}+\pi n$ , где $n \in N$
6) Промежутки знакопостоянства:
y>0 если $x \in$ [ $-\frac{\pi}{2}+\pi n ; \frac{\pi}{2}+2\pi n$ ], где $n \in N$
y<0 если $x \in$ [ $\frac{\pi}{2}+2\pi n ;\frac{3\pi}{2}+2\pi n$ ], где $n \in N$

Дополнительно: графики обратных тригонометрических функций

Графики обратных тригонометрических функций на занятиях с репетитором по математике.

Вашему вниманию предлагаются графики обратных тригонометрических функций. Страничку можно использовать на занятиях с репетитором по математике по программе для математических классов. Знание некоторых особенностей данных функций (область определения и область значений) входит в список базовых програмных требований, однако сами графики исключаются.

Для удобства демонстраций репетитором по математике свойств функций их области определения выделены красным цветом, а области значений голубым.

1)Арксинус. График функции $y=\arcsin{x}$

Свойства:

1) Область определения:

$D_{\text{f}}$ = [ $-1 ; 1$ ]
2) Область значений:

$E_{\text{f}}$ = $\left[-\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2}\right]$
3) Промежуток возрастания:
[ $-1 ; 1$ ]
4) Промежутки убывания: нет
5) Нули функции: $x=0$
6) Промежутки знакопостоянства:
y>0 если $x \in$ $(0;1]$
y<0 если $x \in$ $[-1;0)$

2)Арксинус. График функции $y=\arccos{x}$

Свойства:

1) Область определения:

$D_{\text{f}}$ = [ $-1 ; 1$ ]
2) Область значений:

$E_{\text{f}}$ = $[0;\pi]$
3) Промежуток возрастания:
нет
4) Промежуток убывания: [ $-1;1$ ]
5) Нули функции: $x=0$
6) Промежутки знакопостоянства:
y>0 если $x \in$ $(-1;1]$
y<0 нет таких X

3)Арктангенс. График функции $y=arctg(x)$

Свойства:

1) Область определения:

$D_{\text{f}}$ = ( $-\infty ; +\infty$ )
2) Область значений:

$E_{\text{f}}$ = $\left (-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right)$
3) Промежуток возрастания:
( $-\infty ; +\infty$ )
4) Промежуток убывания: нет
5) Нули функции: $x=0$
6) Промежутки знакопостоянства:
y>0 если $x \in$ $(0;+\infty)$
y<0 если $x \in$ $(-\infty;0)$

4)Арккотангенс. График функции $y=arcctg(x)$

Свойства:

1) Область определения:

$D_{\text{f}}$ = ( $-\infty ; +\infty$ )
2) Область значений:

$E_{\text{f}}$ = $(0;\pi)$

3) Промежуток возрастания: нет
4) Промежуток убывания: ( $-\infty ; +\infty$ )
5) Нули функции: нет нулей
6) Промежутки знакопостоянства:
y>0 если $x \in$ ( $-\infty ; +\infty$ )
y<0 нет таких Х

В подготовке к занятиям на графики репетитор по математике может воспользоваться моим комплектом упражнений на преобразование графиков обратных тригонометрических функций.

Построить графики:

1) $y=arcsin(x+1)$

2) $y=arcsin(x-2)$

3) $y=arccos(x+3)$

4) $y=arccos(x-4)$

5) $y=arctg(x+1)$

6) $y=arctg(x-3)$

7) $y=arcctg(x+1)$

8) $y=arcctg(x-2)$

9) $y=arcsin(2x+1)$

10) $y=arcsin(0,5x-2)$

11) $y=arccos(2x-3)$

12) $y=2arctg(x+1)$

13) $y=3arcsin(x-1)$

14) $y=0,5arccos(x+1)$

15) $y=2arctg(x-4)$

16) $y=arcsin(x-2)-\dfrac{\pi}{2}$

17) $y=arccos(2x+1)-\dfrac{\pi}{2}$

18) $y=2arctg(x-1)-\dfrac{\pi}{2}$

19) $y=3arcsin(x-3)+\dfrac{\pi}{2}$

20) $y=|2arccos(x-4)-\dfrac{\pi}{2}|$

21) $y=|0,5arcctg(x-4)- \dfrac{\pi}{2}|$

Темы: Графики функций, Справочник репетитора, Тригонометрия

Репетитор по математике в работе с темой «преобразование графиков»

Сможете ли вы объяснить ребенку, как построить график функции $f(x)= \left\vert 3Sin(2x-\dfrac{\pi}{3})-1 \right\vert$ ? Попробуйте взять слабого ученика и пересказать ему текст объяснений данного алгоритма в учебнике. С какой бы скорость и четкостью вы бы это не делали, шансы что вас поймут минимальные. Непонимание причин сжатие, растяжение, терминов параллельный перенос, сдвиг вдоль осей, дебри сухих математических терминов, якобы раскрывающих смысл преобразований препятствуют объяснению темы многим репетиторов по математике.

Однако, не все так сложно. Можно найти подход и к слабому ученику. Все зависит от того, как объяснить: в каком порядке, какими словами и на что опереться в объяснениях.

Есть весьма хитрый прием, который помогает мне в работе. Я расскажу как репетитору по математике им воспользоваться и как существенно повысить вероятность понимания и безошибочного применения известного алгоритма.

Итак, перед нами 10-11-классник. Что делать репетитору? Объяснение приема уходит корнями в 9-й класс в тему «квадратичная функция». Именно там школьник впервые знакомится со сдвигами графиков. Однако эти сдвиги используются только для того, чтобы с их помощью раскрыть суть табличного метода построения и формулу нахождения вершины $X_{\text{ver}} = \dfrac{-b}{2a}$ . Поэтому 95% детей из умеющих строить графики сдвигами не понимают, а просто запоминаю порядок действий с разными видами функций.

Снимем и эту проблему. Рассмотрим функцию $y=(x-3)^2$ . Объясним, почему ее график строится при помощи графика $y=x^2$ сдвигом вправо на 3. Для этого репетитору по математике следует обязательно сравнить с учеником две таблицы значений. Составляем таблицу значений для функции $y=x^2$ и строим ее график:
$\begin{pmatrix}x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\y & 4 & 1 & 0 & 1 & 4\end{pmatrix}$ начальная парабола

После этого репетитору по математике следует поставить перед учеником задачу: взять для таблицы значений функции $y=(x-3)^2$ такие занчения переменной (иксы), чтобы нижняя строчка значений функции (игреков) по сравнению с первой таблицей не изменилась !!!. Как это сделать? Сильному ученику достаточно сказать, что подбираются иксы так, чтобы до возведения в квадрат при вычитании числа 3 получалась строчка из первой таблицы.

Для слабого ученику нужны поэтапные объяснения. Репетитору лучше всего показать подбор каждого числа отдельно. Ясно, например, что для получения в новой таблице той же самой четверки, нужно чтобы в скобках получалось число 2, а чтобы получить в скобке 2, надо подставить вместо Х во вторую функцию число 5. На этом этапе репетитор по математике должен обязательно обратить внимание слабого ученика на то, что подобранное число 5 ровно на 3 больше аналогичного из первой таблицы. После такого открытия подбираются все остальные значения переменной и выясняется, что все они на 3 сдвинутая парабола

больше, чем соответствующие значения переменной в первой таблице. Итак, каждая точка графика $y=x^2$ рождает точку с увеличенной на 3 абсциссой графика $y=(x-3)^2$ . Поэтому все точки нового графика будут правее старого на 3. Этот график показан на рисунке.

Именно после этого вида преобразования графика следует рассмотреть как строится графи с введенным коэфициентом, то есть $y=(2x)^2-3$ . Репетитор по математике заказывает ученику такую строчку для иксов в новой таблице, чтобы ей соответсвовала старя строка для игреков.
Легко объяснить, что и в этом случае с точками графика делается обратное действие. Репетитор подводит итог: если вплотную к перемнной Х вставлено какое-нибудь действие, то это вызывает обратное действие с иксами у точек старого графика. Именно это открытие берется за основу всей практики построения графиков и выносится репетитором по математике в виде правила в теоретическую тетрадь.

Репетитор по математике в работе с темой «преобразование графиков»

Для объяснения построения графика $y=x^2-3$ рассуждения репетитора по математике так же сводятся к выявлению закономерности в переходе к ее таблице значений от таблицы для $y=x^2$ .

Только в данном расположении действия ВЫЧИТАНИЕ репетитор по математике ставит задачу сохранить строчку с иксами. Тогда нетрудно выявить закономерность между старыми и новыми игреками. Новые меньше старых на 3.

Репетитору обязательно нужно обратить внимание ученика на то, что если действие МИНУС 3 вставлено не к переменной Х. В этом случае у точек графика меняются координаты уже не по исксу, а по игреку.

Важный итог:

1) Если действие вставляется к иску — делаем обратное действие со всеми исками старых точек.
2) Если действие вставлено не к иксу (будем счиать, что оно вставилось к игреку) — делаем то же самое действие и тожде не с иксами (с игрекакми).

Коротко:
вставилось к иксу — делай с иксами все наоборот!
вставилось к игреку делай с игреками тоже самое.

Несколько преобразований в одном флаконе

В объяснении мулипреоборазования с несколькими вставленными действиями могут возникнуть сложности в понимании того, в каком порядке вводить действия и строить промежуточные графики. Репетитору по математике следует указать на то, что функция представляет сосбой цепоку действий, а подмеченные правила работают только в том случае, если новое действие вставлено или в начала этой цепочки или в конец. И никак не в разрыв. Именно по этой причине для построения, например, графика $f(x)=\sqrt{2x-6}$ сначала нужно построить $f(x)=\sqrt{x}$ , затем $f(x)=\sqrt{x-6}$ , а уже после $f(x)=\sqrt{2x-6}$ . Если порядок изменить, то при переходе от $f(x)=\sqrt{2x}$ к $f(x)=\sqrt{2x-6}$ действие -6 не будет вставлено вплотную к иксу и разорвет уже сложившуюя последовательность действий УМНОЖЕНИЕ и КОРЕНЬ.

Если вы репетитор по математике, то обратите внимание своего ученика именно в этот момент, что порядок введения действий к иксу тоже обратный. Если в привычном вычислении результата всех действий (значения функции) мы действует также ка кучили в начальной фшоле (сначала умножаем, а потом отнимаем), то введение действий для построения графика просиходит НАОБОРОТ! То есть вообще все наши действия с иксами для построения графика делаются в обратном порядке.

Я обычно в теоретической тетради выделяю короткие инстурукции (руководства к действию) фразой : ВСЕ НАОБОРОТ. Единообразие и закономерности великолепно работают на запоминание алгоритмов. Просто и понятно : с иксом все наоборот, а с игреками все в прямом порядке.

Я не слышал еще ни от одного своего ученика, чтобы школьный преподаватель или другой репетитор по математике выделял в теме главную особенность : с иксом все наоборот...

Один раз мне доводилось встретить грубейшую ошибку одного репетитора по математике, который для построения графика функции $f(x)= Sin(2x-\dfrac{\pi}{3})$ сначала строил $f(x)= Sin(x)$ , затем $f(x)= Sin(2x)$ , а затем $f(x)= Sin(2x-\dfrac{\pi}{3})$ .
Правильная последовательность иная:
1) $f(x)=SinX$
2) $f(x)= Sin(x-\dfrac{\pi}{3})$
3) $f(x)= Sin(2x-\dfrac{\pi}{3})$

Не делайте подобныйх ошибок и стройте графики правильно.
Колпаков А.Н. Репетитор по математике.

Pages: 1 2

Темы: Алгебра, Графики функций, Методики для репетиторов, Примеры объяснений

Математика КАК 2х2.

пятница, 21 февраля 2014 г.

Графики элементарных функций.

Графики обратных тригонометрических функций на занятиях с репетитором по математике.

Репетитор по математике в работе с темой «преобразование графиков»

Репетитор по математике в работе с темой «преобразование графиков»

Несколько преобразований в одном флаконе

Комментариев нет:

Отправить комментарий

Общее·количество·просмотров·страницы

Популярные сообщения

пятница, 21 февраля 2014 г.

Графики элементарных функций.

Графики обратных тригонометрических функций на занятиях с репетитором по математике.

Репетитор по математике в работе с темой «преобразование графиков»

Репетитор по математике в работе с темой «преобразование графиков»

Несколько преобразований в одном флаконе

Комментариев нет:

Отправить комментарий

Общее·количество·просмотров·страницы

Популярные сообщения

пятница, 21 февраля 2014 г.